Вся эта движуха началась не вчера. Лев Успенский еще в 1954 году писал в "Слове о словах": тысячи людей говорят "кто тут крайний?".
Первая волна была в 60-х. Тогда с этим боролись и почти победили. Но в 2000-х пришла вторая волна - и уже накрыла всех.
Даже Медведев в 2013-м высказался: "Не надо бояться слова 'последний'. У нас какая-то странная филологическая тенденция пошла".

"Последний" по Ожегову:
конечный в ряду чего-либо
находящийся в конце ряда событий
новый, только что появившийся
окончательный

"Крайний" по Ожегову:
находящийся на краю (крайний дом на улице)
предельный, очень сильный (крайние меры)
синоним "последнего" ТОЛЬКО в выражениях "крайний срок", "в крайнем случае"

Откуда пошла мода на "крайний"
Версия №1: Профессиональные суеверия
Летчики, парашютисты, космонавты, подводники боятся говорить "последний полет/прыжок". Типа может реально стать последним. В словаре жаргона есть пометки "авиа.", "косм.".
Хм, а сколько летунов разбилось, несмотря на "крайний"? Статистику никто не ведет.

Версия №2: Негативные ассоциации
Говорят, "последний" звучит как "плохой" ("последний негодяй", "как последний дурак"). Но у "крайнего" тоже есть негатив - "крайним сделали", то есть виноватым.

Версия №3: Украинское влияние (везде хохлы!)
Филолог Владимир Колесов считает: это вообще пришло из украинского языка. В русском такого значения у "крайнего" не было.

Допустим, я буду защищать употребление "крайний". Что можно сказать?
За "крайний":
Избегаем негативных ассоциаций со словом "последний".
Показываем уважение к суевериям людей опасных профессий.
Язык живой, он имеет право изменяться.
В выражениях "крайний срок", "крайние меры" - это норма

Но контраргументы сильнее:
У каждого ряда ДВА края. Какой имеется в виду?
"Крайний" тоже может обижать (крайним сделали = виноватым).
Это грубое нарушение языковых норм.
Пространственное значение не подходит для временных последовательностей.

Что там по исследованиям?
Социолингвистические исследования показывают: замена связана с речевыми суевериями и стремлением к псевдовежливости.

Корпусная лингвистика фиксирует: в XVIII-XIX веках "последний" имел функции интенсификатора без негативной коннотации. Негативность появилась позже.

Профессор СПбГУ Татьяна Садова: "Языковая интуиция подсказывает: крайний - это внешний, конечный относительно остального, а последний - это уже навсегда".

Грамота.ру однозначно: правильно "кто последний", употребление "крайний" нарушает норму.

Этимология: "последний" - однокоренное со словом "следующий", указывает на порядок в ряду.

Практические советы
В очереди правильно: "Кто последний?"
Неправильно: "Кто крайний?"

В повседневной речи правильно:
последний раз
последняя поездка
последний день года

Исключения (где "крайний" уместен):
крайний срок
крайние меры
в крайнем случае
крайний дом (на краю улицы)

Не бойтесь слова "последний"! Оно имеет много положительных значений: последние новости, последняя мода, строить по последнему слову техники.

А если очень боитесь - используйте синонимы: завершающий, заключительный, итоговый. Но не коверкайте язык "крайним". А то нервируете нас - граммациев.

Ну, а я, как бывший работник экстренной службы, всё равно буду говорить "крайнее дежурство", чтобы оно не стало последним.