Геометрам на заметку⁠⁠

Задача о перемещении дивана (Moving Sofa Problem) — это классическая геометрическая головоломка, вдохновленная бытовой болью каждого, кто хоть раз делал ремонт или переезжал.

Впервые её строго сформулировал математик Лео Мозер в 1966 году. Она считалась нерешенной на протяжении почти 60 лет, пока в конце 2024 года корейский математик Чинон Пэк (Jineon Baek) не представил её фундаментальное доказательство. Журнал Scientific American даже включил это решение в список главных математических прорывов.

Суть задачи

Представьте себе плоский (двумерный) коридор в форме буквы Г. Его ширина на всем протяжении равна 1 метру, а поворот идет строго под прямым углом.

Вопрос: фигуру какой максимальной площади можно протащить по такому коридору, двигая и вращая её в плоскости, но не поднимая и не наклоняя? Математики называют эту искомую величину «константой дивана».

Как усложнялся «диван»

Если бы диван был идеальным квадратом \(1 \times 1\), его площадь равнялась бы 1, и он легко прошел бы поворот. Но математики сразу поняли, что можно сделать форму побольше.

Полукруг. Если сделать диван в виде полукруга радиуса 1, он заедет в угол, плавно развернется по дуге и выедет в другую сторону. Его площадь составит \(\pi/2 \approx\) 1,57.

Телефонная трубка Хаммерсли. В 1968 году математик Джон Хаммерсли догадался распилить этот полукруг пополам, раздвинуть половинки, вставить между ними прямоугольник, а снизу вырезать небольшую лунку. Вырез нужен для того, чтобы диван плавно «огибал» внутренний угол коридора при развороте. Площадь такого дивана выросла до 2,2074.

«Монстр» Гервера. В 1992 году Джозеф Гервер создал еще более сложную конструкцию. Её контур состоит из 18 отдельных аналитических кривых, плавно переходящих друг в друга. Этот причудливый диван с выемкой посредине имел площадь 2,2195.

В чем была сложность и как её решили?

Проблема заключалась в том, что придумать хорошую форму дивана — это только полдела. Математикам десятилетиями не удавалось строго доказать, что кто-то в будущем не изобретет еще более хитрую фигуру, чья площадь окажется хотя бы на микроскопическую долю больше, чем у Гервера. Ведь количество возможных геометрических форм бесконечно.

Чинон Пэк в своем 119-страничном труде совершил прорыв без использования тяжелых компьютерных переборов. Он доказал фундаментальные геометрические ограничения, которыми обязан обладать любой идеальный диван в Г-образном пространстве, и математически запер верхнюю границу площади, подтвердив: диван Гервера площадью 2,2195 — это абсолютный и непревзойденный максимум.

Интересный факт: если коридор имеет не один поворот, а два (зигзаг, где нужно повернуть сначала направо, а потом налево), то задача до сих пор остается нерешенной!