Фракталы⁠⁠

Проведите линию. К её концу под углом в обе стороны добавьте ещё по линии. От их концов начертите ещё две и так до бесконечности или пока у вас хватит терпения. Такие бесконечные последовательности одинаковых действий называются фракталы, и это одна из самых красивых вещей в математике

Не напоминает брокколи?

Фракталы задаются простым правилом, но позволяют создавать очень сложные структуры. Это настолько эффективно, что было взято на вооружение природой! Фрактальное строение имеют растения:

Каждый лист папоротника похож на растение в целом

Но они встречаются и у животных, даже в нашем собственном организме! Как правило, их можно найти там, где нужно сильно увеличить площадь в ограниченном объёме. Например, наши бронхи:

Для того, чтобы потреблять больше воздуха бронхам нужна как можно большая площадь поверхности. Но объём грудной полости ограничен! Чтобы наиболее эффективно решить эту задачу природа использует фракталы. Разберём, почему это так работает на более простом примере:

Какова длина береговой линии Великобритании?

Предположим, вы хотите написать на Википедии, чему равна длина границы Великобритании. Как это сделать? Если попытаться измерить её, возникает забавный парадокс: длина тем больше, чем меньшую линейку вы берёте:

Можно получить лишние 1000 километров, просто взяв меру поменьше! Если измерять побережье достаточно большими отрезками, это скроет неровности. Так можно пропустить целый залив! Но если делать более точные замеры, то они выявят всё больше деталей — от заливов и бухт до отдельных камней. Длина увеличивается от не очень впечатляющей до просто невероятной. На самом деле, до бесконечной

Разберём ещё один фрактал — снежинку Коха. Попробуйте сами понять, как она строится, изучив иллюстрацию:

С каждым шагом периметр фигуры увеличивается всё больше, устремляясь в бесконечность. Но площадь, занимаемая ей, очевидно, конечна! Она равна 8/5 площади первоначального треугольника

То же самое, только в трёх измерениях делают наши лёгкие и многие другие органы. Но вернёмся к растениям

Программируем фракталы

Программисты очень полюбили фракталы за простоту их описания и естественность создаваемых форм. Всего в несколько строчек кода можно описать дерево, выглядящее, как настоящее! Это сыграло огромную роль в компьютерной графике, позволив создавать красивые миры в фильмах и играх

Я создал модель, в которой вы можете самостоятельно поиграться с фракталами. Изменяя длину каждой последующей ветви и угол их поворота вы можете создать как брокколи из начала поста, так и кого-то хвастающегося своими мышцами. Пугает только количество его голов

Этот парень явно пропускал день ног

Деревья, получающиеся так, выглядят интересно, но всё же не совсем натурально. Однако, разрушив симметрию и добавив элемент случайности, можно получить нечто вполне правдоподобное!

При нажатии на изображение, сгенерируется новый случайный коэффициент и дерево получится немного другим. Делитесь своими результатами в комментариях!

А если интересны посты про образование и науку, заглядывайте в мою группу ВК и канал телеграм