Задачи про шины⁠⁠

Сегодня решил поделиться с вами разбором задач про шины из сборников ОГЭ по математике для 9 класса. Дайте знать в комментариях: заходят ли вам обзоры и нужны ли они. Спасибо.

ШИНЫ

https://t.me/Math9GradeOGE - взято из канала «ОГЭ Математика 9 класс»

Разберем одну из самых затруднительных тем первой части – ШИНЫ.

Автомобильное колесо, как правило, представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1).

Первое число (число 195 в приведённом примере) обозначает ширину шины в миллиметрах (параметр B на рис. 2). Рис. 1 Второе число (число 65 в приведённом примере) – процентное отношение высоты боковины (параметр H на рисунке 2) к ширине шины, то есть 100*H/B. Последующая буква обозначает тип конструкции шины. В данном примере буква R означает, что шина радиальная, то есть нити каркаса в боковине шины расположены вдоль радиусов колеса. На всех легковых автомобилях применяются шины радиальной конструкции. За обозначением типа конструкции шины идёт число, указывающее диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Таким образом, общий диаметр колеса D легко найти, зная диаметр диска и высоту боковины. Рис. 2 Возможны дополнительные маркировки, обозначающие допустимую нагрузку на шину, сезонность использования, тип дорожного покрытия и другие параметры. Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами маркировки 195/60 R16. Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

• Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам?

• Данная задача решается легко: нужно просто посмотреть внимательно на таблицу, изображенную на рис. 3. Смотрим на столбец с диаметром диска 17 дюймов и ищем наименьшее первое число в маркировке, обозначающее ширину шины.

• Ответ: 185.

• На сколько миллиметров радиус колеса с шиной маркировки 185/65 R16 больше, чем радиус колеса с шиной маркировки 215/55 R16?

  
  

  Для решения этой задачи нам нужно выполнить следующие шаги:

  1) Посчитать диаметр диска первой шины в миллиметрах;

  2) Найти высоту первой шины из ее маркировки;

  3) Найти диаметр первого колеса;

  4) Зная диаметр первой шины, найти ее радиус;

  5) Найти радиус колеса, зная радиус диска и высоту шины;

  6) Посчитать диаметр второго колеса в миллиметрах;

  7) Зная диаметр второго колеса, найти его радиус;

  8) Вычесть из радиуса второго колеса радиус первого.

• 
  

• Пойдем по порядку:

  1) Рассмотрим первую шину с маркировкой 185/65 R16.  Из маркировки шины мы видим, что ширина шины – 185 мм, диаметр диска шины – 16 дюймов.

• Найдем диаметр диска первой шины. В условии задачи дана справочная информация о том, что 1 дюйм = 25,4 мм. Значит, диаметр диска шины равен d1=16*25,4 = 406,4 мм.

  2) Найдем высоту первой шины, зная ее маркировку. Второе число – 65 в маркировке 185/65 R16 означает, что .
  В этой формуле мы знаем ширину шины B. Надо выразить H – высоту шины. Путем математических преобразований получаем

В нашем случае,

Видим, что, и множители в числителе, и знаменатель делятся на 5. Сократим дробь:

3). Найдем диаметр первого колеса.

Из рисунка видим, что диаметр колеса равен D = d + 2 * H.

Найдем диаметр первого колеса с маркировкой 185/65 R16.

Диаметр диска d мы нашли в пункте 1 решения, высоту шины H1 мы нашли в пункте 2 решения. Тогда имеем D1 = d + 2 * H1 = 406,4 + 2 * 120,5 = 406,4 + 240,5 = 646,9 мм.
4) Зная диаметр шины, легко вычислить её  радиус. Ведь радиус шины (читай окружности) равен половине ее диаметра

Соответственно, радиус шины 1 равен r1 = 629,2 / 2 = 323,45 мм. Вторая шина имеет такой же диаметр диска, как и первая. Поэтому, мы знаем, что ее диаметр d2 = d1 = 406,4 мм. Или снова найдем диаметр диска шины 2 с маркировкой 215/55 R16. Аналогично пункту 1, диаметр диска шины 2 равен d2 = 16 * 25,4 = 406,4 мм.

5) Найдем высоту второй шины, зная ее маркировку. Второе число – 55 в маркировке 215/55 R16 означает, что

В этой формуле мы знаем ширину шины B. Надо выразить H – высоту шины. Путем математических преобразований получаем

В нашем случае,

Сократим дробь:

6) Найдем диаметр второго колеса с маркировкой 215/55 R16.

Диаметр диска d мы нашли в пунктах 1 и 5 решения, высоту шины H2 мы нашли в пункте 6 решения. Тогда имеем D2 = d + 2 * H2 = 406,4 + 2 * 118,25 = 406,4 + 236,5 = 642,9 мм.

7) Зная диаметр второго колеса,  легко вычислить его радиус (см. п. 4).

На рисунке 2 видим колесо, его диаметр D = d + 2 * H, где d - диаметр диска, H - высота шины. Также, мы знаем что радиус колеса (окружности) равен половине его диаметра (см. рис. 1). Это означает, что радиус колеса . Соответственно, радиус первого колеса (с маркировкой 185/65 R16) равен

Соответственно, радиус первого колеса (с маркировкой 185/65 R16) равен

8) Чтобы найти на сколько миллиметров радиус колеса с шиной маркировки 185/65 R16 больше, чем радиус колеса с шиной маркировки 215/55 R16 нужно из радиуса первого колеса вычесть радиус второго колеса:

r1 - r2 = 323,45 - 321,45 = 2 мм.

Ответ. Радиус колеса с шиной маркировки 185/65 R16 больше, чем радиус колеса с шиной маркировки 215/55 R16 на 2 мм.

3. Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

По условию задачи завод на свои автомобили устанавливает колёса с шинами маркировки 195/60 R16. Диаметр колеса D = d + 2 * H, где d – диаметр диска в миллиметрах, H – высота шины.
1) Найдем диаметр диска в миллиметрах: d = 16 * 25,4 = 406,4 мм.

2) Найдем высоту шины, зная ее маркировку. Второе число – 60 в маркировке 195/60 R16 означает, что

Откуда, 100 * H = 60 * B, или 100 * H = 60 * 195. Найдем H из формулы и сократим дробь:

3) Найдем диаметр колеса:

D = d + 2 * H = 406,4 +2 * 117 = 406,4 + 234 = 640,4 мм.

Ответ. 640,4 мм.
4, На сколько миллиметров уменьшится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 205/50 R17?

На заводе установили колеса 195/60 R16. Диаметр колеса, установленного на заводе, мы нашли в задаче 3 D1=640,4 мм.

Найдем диаметр колеса с шинами 205/50 R17. Для этого, по аналогии с задачей 3, найдем диаметр диска и высоту шины.

1) Диаметр диска колеса с шинами 205/50 R17 равен

D = 17 * 25,4 = 431,8 мм.

2) Найдем высоту шины. Второе число – 50 в маркировке 205/50 R17 означает, что . Откуда,

Откуда, 100 * H = 50 * B, или 100 * H = 50 * 205.
Найдем H из формулы и сократим дробь:

3) Найдем диаметр колеса с шинами маркировки 205/50 R17

D2 = d + 2 * Н = 431,8 + 2 * 102,5 = 431,8 + 205 = 636, 8 мм.

4) Ответим на вопрос задачи: на сколько миллиметров уменьшится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 205/50 R17?

D1 - D2 = 640,4 - 636,8 = 3,6 мм.

5) На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 215/45 R18? Результат округлите до десятых.

Напишем алгоритм решения задачи:

1) Найти диаметр колеса, установленного на заводе;

2) Найти диаметр нового колеса после замены колес.

Один оборот колеса равен длине окружности колеса. Длина окружности колеса l = 2 * Pi *r = 2 * Pi * d, где r – радиус колеса, d – диаметр колеса, Pi - число Пи.

Для этого, по аналогии с задачей 3, найдем диаметр диска и высоту шины.

3) Диаметр диска колеса с шинами 215/45 R18 равен

D=18*25,4=457,2 мм

4) Найдем высоту шины. Второе число – 45 в маркировке 215/45 R18 означает, что

Откуда, 100 * H = 45 * B, или 100 * H = 45 * 215. Найдем H из формулы и сократим дробь

5)  Найдем диаметр колеса с шинами маркировки 205/50 R17:

D2 =431,8 +2*102,5=431,8+205=636,8 мм.

Заглядывайте на канал https://t.me/Math9GradeOGE - там я разбираю все задачи из сборника ОГЭ для 9 класса.