Почему Пи = 4?
Или что такое расстояние
Почему это окружность? Дефиниция окружности - фигура, все точки которой равноудалены от центра. Здесь явно не окружность.
раскрыть ветку (119)
раскрыть ветку (118)
Расстояние - длина отрезка от точки до точки. Для того что бы его измерить в кординатной плоскости нужно взять squirt(x^2+y^2)
раскрыть ветку (117)
Вот. А кто сказал, что длина измеряется именно так? В современной математике и анализе это ниоткуда не следует. И поэтому при желании длину можно брать разную. А следовательно, вид окружности будет меняться в зависимости от того, что мы назовём длиной.
раскрыть ветку (116)
Тогда дефинируйте понятие длины. Что значит брать разную? Из головы взять? Тогда что угодно можно назвать окружностью.
Или вы о другой системе координат?
раскрыть ветку (115)
Вот тебе математическое определение "длины": https://ru.wikipedia.org/wiki/Метрическое_пространство - раздел Определение.
Как я уже сказал, под него подходит не только наша привычная евклидова длина, но и куча других конструкций, которые я и описал в посте.
А окружность - это геометрическое место точек, равноудалённых от заданной, ты совершенно прав.
раскрыть ветку (114)
В определении не сказано, что такое длинна.
евклидова длина
Значит мы уже не в евклидовом пространстве.
раскрыть ветку (113)
В математике это называется метрика. И всё там сказано.
Ну и да, никто не говорил, что речь идёт об евклидовых пространствах.
раскрыть ветку (112)
Я не поняла. Объясните как для идиота. Что такое расстояние?
И если мы не евклидовом - то в каком? Ни на пространства Лобачевского, ни Минковского это не смахивает.
раскрыть ветку (111)
Расстояние (метрика) - это функция, которая получает на вход 2 точки (на самом деле вектора, но не заморачивайся), а выдаёт число. При этом эта функция должна быть равна нулю только для одних и тех же точек, результат не должен зависеть от того, в каком порядке мы берём эти точки, а ещё должно выполняться неравенство треугольника.
раскрыть ветку (110)
Расстояние ab=bc=ac(и то и другое - диамерт)
В свою очередь неравенство треугольника гласит.
В свою очередь это означает, что окружность abc - прямая.
раскрыть ветку (109)
А что значит понятие "между"? И что такое прямая?)
Просто в вашем определении используется терминология из евклидовой метрики. В других метриках это не верно.
И да, ab и bc - не диаметры, а просто дуги окружности, длина которых равна диаметру.
раскрыть ветку (108)
Хорошо... тогда как найти расстояние в n-метрике.
Я так понимаю это squirt(x^n+y^n), корень степени n.
Так?
Получается Pi будет фигура, максимум которой в точках 1 и inf. Но если есть максимум, должны быть и минимумы, так? Где же(и какой) минимум у этой функции и как отобразить графически?
раскрыть ветку (107)
Стоп-стоп-стоп. Во-первых, да, расстояние считается так. Во-вторых, пи - это число, а не фигура. И соответственно, в-третьих, я не понял, о чём идёт речь дальше) Что за максимум фигуры? Какая функция?)
раскрыть ветку (106)
Неправильно сказала.
Функция pi(m) где m- размерность метрики 1,2,3,...n, neZ
Я имела в виду не фигуру, а график pi(m), как он будет выглядеть.
И есть где-то доказательство всей этой фигни, хочу почитать на досуге.
раскрыть ветку (105)
Насчёт графика точно не скажу, не видел. Там длина окружности весьма нетривиально считается, но я думаю, кто-то до нас это уже проделал, так что гугление поможет) Если мне не изменяет память, для разных метрик пи вообще может лежать в пределах от 2sqrt(2) до 4. Но за точность нижней границы не ручаюсь.
раскрыть ветку (104)
А в нулевой метрике неопределенность?
Я искала - не нашла.
А интересно было бы почитать теорему пифагора в метрике 3, 4 и т.д.
раскрыть ветку (103)
Нулевой метрики никогда не встречал, не знаю, что такое, как и не знаю, что такое корень нулевой степени)
А теорема пифагора простая: a^n + b^n = c^n, для любых n, кроме 1 и бесконечности.
раскрыть ветку (102)
раскрыть ветку (101)
А какие доказательства нужны?) Если расстояние между точками считается, как (x^n + y^n)^(1/n), то его энная степень равна тому, что я написал. Как раз и получается прямоугольный треугольник из отрезка от нуля до заданной точки и катетов в виде координатных отрезков.
раскрыть ветку (100)
Доказательства, того, что длина в другой метрике равна именно этому.
@nbvehbectw, @Limonium, Зная, что ваши способности в матане лучше моих и вы хорошо знаете меня, не могли бы вы помочь мне объяснить этот пост...
раскрыть ветку (99)
раскрыть ветку (72)
Т.е. я могу задать любую метрику и сам определить в ней длину? Хоть что длина равна logx+logy?
раскрыть ветку (71)
Если она будет соответствовать всем требованиям из определения метрики, то да. Но с логарифмами, думаю, вряд ли прокатит.
раскрыть ветку (63)
раскрыть ветку (62)
Хватит перемешивать все разделы математики. В данном случае x и y - это первая и вторая координаты вектора, то бишь числа. А не переменная и функция.
Нет, не будет. Только что взяла интеграл от этой функции и разделила на радиус, получилось 2^-(1/3)
раскрыть ветку (60)
Не 2^-(1/3), а 2^(1/3).
Значит в этой метрике формула l=integrate ( sqrt(1+y'^2)dx) не работает. Скорее всего там будет третья степень.
раскрыть ветку (59)
раскрыть ветку (58)
По ходу выражение которое определяет длину в этой метрике будет dl=(1+y'^3)^(1/3)dx
Но взяв интеграл от -1 до 1 по этой функции ряд получается дивиргентом.
Херня какая-то получается.....
раскрыть ветку (57)
А вот для степени 4, хоть интеграл и не берется, но выходит отличный ряд Тейлора. Интегрируя его получаем отличное значение pi в 4-х метрике.
Я как-нибудь разберусь с этим и постараюсь график начертить как ты и хотела. Хотя не знаю получится ли. Времени мало.
раскрыть ветку (55)
Естественно, он не берётся, ведь должно получиться иррациональное трансцендентное число, скорее всего)
Я щас не дома, и мне лень самому думать и считать по этому поводу, так что удачи) Только найди, как бы удобно такую фигуру параметризовать...
раскрыть ветку (37)
Естественно, он не берётся, ведь должно получиться иррациональное трансцендентное число, скорее всего)
Так трансцендетное число может получится и при обычном, берущимся интеграле.
При n=2 получается красивый интеграл, площадь которого [-1;1] и равна pi.
раскрыть ветку (36)
Это потому что при n=2 разработали математический аппарат и вели специальные функции) А ведь число пи всё равно напрямую никак не посчитаешь. Так что можно поступить так же и просто обозначить какой-то новой буквой число, равное вот такому вот интегралу, так часто делается.
раскрыть ветку (35)
Я, да и думаю моя подруга, не совсем поняли суть этой метрики.
Ведь эмпирически доказано, что мы живем в метрике n=2. Т.к. теорема пифагора выполняется при квадратах числел. Где и как существуют другие метрики?
А про трансцендентное число - да, оно будет трансцендентным при n>2. Это следует из теоремы Ферма(великой конечно же).
раскрыть ветку (29)
Вообще-то p-нормы Гёльдера существуют не только для натуральных чисел. Просто для любых вещественных p>=1. Это во-первых. Во-вторых, теорема Ферма говорит о корне уравнения, а не о интеграле. В-третьих, она строит утвержденияе о целых числах, а у нас все координаты вещественные и по модулю больше или равны 0 и меньше или равны 1. Не, может, конечно, и следует, но точно не очевидным способом.
раскрыть ветку (26)
Вообще-то p-нормы Гёльдера существуют не только для натуральных чисел. Просто для любых вещественных p>=1.
Вот это я вообще не понял.
Во-вторых, теорема Ферма говорит о корне уравнения, а не о интеграле.
Так интеграл мы берем из уравнения x^n+y^n=r^n. Корнем такого уравнение может быть только число трансцендентное, если не ошибаюсь.
раскрыть ветку (25)
Ну, есть норма (|x|^2+|y|^2)^(1/2) - это 2-норма Гёльдера. В посте приведена (|x|^3+|y|^3)^(1/3) - 3-норма Гёльдера. |x|+|y| можно записать как (|x|^1+|y|^1)^(1/1), это 1-норма Гёльдера. А можно написать в общем виде: (|x|^p+|y|^p)^(1/p) - это p-норма Гёльдера. Причем p - необязательно натуральное, можно выбрать любое вещественное число больше или равное 1.
Эм, нет. Можно взять x=y=(1/2)^(1/n), r=1, а это алгебраические числа.
Эм, нет. Можно взять x=y=(1/2)^(1/n), r=1, а это алгебраические числа.
раскрыть ветку (24)
Скажи, а почему у тебя модули?
Скажи, вас этому в универе учат?
Про трансцендентность...хм. Да, я был не прав. Я почему-то подумал что если два числа уравнения - целые, то третье должно быть трансцендентным. Даже не знаю почему.
раскрыть ветку (23)
Модули, потому что они там есть по определению. У квадратов их тоже надо ставить, ибо координаты могут быть и комплексными.
Да, учат. Конкретно нормы Гёльдера были в конце 2 семестра в курсе линейной алгебры.
раскрыть ветку (22)
раскрыть ветку (21)
В первом семестре был Паскаль, во втором - Ассемблер, сейчас Си. В следующем вроде будет C++, дальше не знаю.
раскрыть ветку (20)
По одному языку на семестр? Понятно.
А что на счет аналогового программирования?
Тебе три года учится?
раскрыть ветку (19)
Не думаю, что будет. Все-таки ЭВМ более распространены, чем АВМ.
Еще три, всего четыре. Это как минимум, если в магистратуру не пойду. А я пока не знаю, пойду ли.
раскрыть ветку (18)
раскрыть ветку (17)
раскрыть ветку (16)
Я знаю. Только вот на билет на самолет деньги нужны,
На общагу деньги нужны
На питание деньги нужны.(Благо хоть это в Москве дешевое)
На взятки ментам деньги нужны.
раскрыть ветку (15)
Ну 1 раз на билет скопить несложно.
Общага - копейки.
Питание - это уж смотря какие аппетиты будут)
Про ментов вообще не понял.
раскрыть ветку (14)
С зарплатой 200 евро - сложно.
Так, что бы общагу снимать нужно работу в москве найти(Кто знает - это возможно?)
Ну...Криминальная Россия, РТР, многие европейские сми любят говорить про уровень коррупции в России и особенно российских ментов, которые колотят и забирают в участок и там с противогазом заставляют подписать протокол)
раскрыть ветку (13)
Общага в МГУ стоит какие-то копейки в районе 1,5к за год)
И чёт я уже столько лет в Москве живу, а всё никак менты не загребли пока ни разу =(
раскрыть ветку (12)
1.5к рублей надеюсь? У нас такие же деньги в евро.
=(
Ну вы и неудачник. Это же надо! Жить в Москве и не иметь дело с ментами....
раскрыть ветку (11)
раскрыть ветку (10)
Хм..100 рублей в месяц? А смысл такой цены? Это расход на бугалтерию даже не оправдывает.
раскрыть ветку (9)
раскрыть ветку (8)
Так это получается я могу накопить на 4 года обучения в МГУ всего за год... Это хорошо.
Скажи, а бесплатно всем или тем кому за 25 надо платить?
раскрыть ветку (7)
Насчет "где и как существуют". Существование в математике не подразумевает существование какого-либо аналога в реальности. Эти метрики существуют в соответствующих метрических пространствах, и все тут. Но применение им найти можно, если поискать.
раскрыть ветку (1)
Может n=2 это лишь наше представление пространства, подобно тому, что мы не можем представить 4-Д пространство.
@G0nZaleZ, @miljonscom, не прошло и года...
В общем, мне приспичило вывести общую формулу отношения длины окружности к ее диаметру для Lp. Вывод вкратце написан на картинке, вот итоговая формула (если я не ошибся, конечно):
π(p) = 2integral(0 to 1)(1+(x^(p(p-1))/(1-x^p)^(p-1)))^(1/p)dx (я считал четверть длины окружности, так что в числителе вылезла 4, а диаметр в знаменателе равен 2, так что в итоге там умножение на 2)
Выразить это без интеграла не вышло, как и записать производную в общем виде. Но зато вольфрам справился с подсчетом конкретных значений. Вот некоторые:
π(1.000) = 4
π(1.010) = 3.972644221725112
π(1.100) = 3.757084367281182
π(1.500) = 3.259767993058995
π(1.900) = 3.144640577693381
π(1.990) = 3.141620462960406
π(1.999) = 3.141592929187273
π(2.000) = 3.141592653589793
π(2.001) = 3.141592928636630
π(2.010) = 3.141619912297847
π(2.100) = 3.144088071991777
π(2.500) = 3.185083548913127
π(3.000) = 3.259767993058995
π(10.00) = 3.733960809222704
π(100.0) = 3.871107728639609
В общем, очень похоже, что минимум функции равный привычному числу π достигается при p=2. Очень сомневаюсь, что это просто совпадение, что как раз при p=2 сформировалась наша Вселенная.
раскрыть ветку (16)
Во ты заморочился)
Но да, похоже на правду. Интеграл действительно не должен считаться аналитически, и значения вполне себе похожи. Думаю, такая метрика вместе с числом Пи доставляет минимум каким-нить многим энергетическим потенциалам, и потому подобная метрика наиболее выгодна в нашем пространстве. Т.е., возможно, в момент Большого взрыва наша Вселенная скатилась в некоторую потенциальную яму в плане кривизны метрики.
раскрыть ветку (15)
Да, тоже об этом подумал. Примерно как шар - оптимальная фигура в плане отношения объема к площади поверхности (во всех ли метриках, интересно). Только здесь это на уровень ниже. Правда, странно, что этот минимум попал прямо на целое число 2.
Так, где-то там при p>2 есть точка перегиба. Я хочу знать значение p и π в этой точке. Хотя бы примерно. Не знаешь каких-нибудь годных программ для интерполяции и прочей работы с такой лабудой? А то если самому писать, то это в долгий ящик.
раскрыть ветку (13)
Я вообще обычно через вольфрам математику всё делаю. Ещё, емнип, ориджин что-то такое может, но хз, я им никогда не пользовался.
раскрыть ветку (12)
Вольфрам прекрасен, но когда я давал ему эту формулу не с конкретными значениями, а при общем p, то он оказывался бессилен. А графики он вообще паршиво строит, по-дэбильному выбирая границы и масштаб, тем более разный по разным осям. Ориджин глянем, спасибо.
раскрыть ветку (11)
В общем, я загнал твой интеграл в вольфрам и попробовал построить график в диапазоне от 1.1 до 4. Вольфрам считал много часов и, судя по всему, где-то после тройки забуксовал)
Попробую на днях ещё задать диапазон побольше и посмотреть, что он будет делать в таком случае)
раскрыть ветку (9)
Ну, общем-то и так ясно, как график выглядит. Интереснее посмотреть на первую и вторую (может, и последующие) производные этой функции. Ибо строгого доказательства, что минимум в точке 2, у меня нет, а точность ±0.001 - это вообще не комильфо. Ну и вторую для точки перегиба, просто ради интереса.
раскрыть ветку (8)
Да тут, в принципе, и так понятно, что в 2 минимум будет. Мне лень насчёт строгого доказательства мучиться)
Производную-то посчитать не проблема, другое дело, что там опять будет какой-нибудь неберущийся интеграл, и всё равно решение уравнения pi'(p)=0 можно будет найти только численно.
раскрыть ветку (6)
раскрыть ветку (5)
Судя по графику подынтегральной функции, просто для больших p там основное значение интеграла сосредоточено в окрестности единицы, где он является несобственным, и потому-то вольфрам и тупит. Надо будет попробовать выставить верхний предел наподобие 0.99999 и посмотреть, что он выдаст.
раскрыть ветку (4)
Не, ну так незачем делать. На то он и несобственный: выкинешь особую точку с окрестностью, и можешь ошибиться хоть на бесконечную величину. Да и просто можно на окружность взглянуть: кажется, что немного отсекаешь, а на самом деле половину.
...
А вот и решение подоспело. Отсечь ровно половину, посчитать хорошенький интеграл Римана и потом просто умножить на 2. Осталось только выразить координату этой половины.
Собственно, x=(1/2)^(1/p).
UPD. Да, так определенно лучше. Раньше он сливался уже на 50, а теперь правдоподобно считает даже на 1000.
раскрыть ветку (3)
Ну вообще, численно несобственные интегралы так и считаются) Никто там не подставляет точку 1, просто берут близкую. И погрешность оценивается. Но мне лень считать =Ъ
Насчёт отсекания половины - ты слегка неправ, т.к. даже если функция там действительно симметрична относительно х=у, у тебя останется небольшой квадратик, который тоже надо прибавить.
раскрыть ветку (2)
Не понял, зачем что-то прибавлять? У графика с картинки мы длину считаем, если что. Сама подынтегральная функция по-другому выглядит.
раскрыть ветку (1)
У функции Plot есть куча разных параметров, позволяющих выбрать оформление графика, в том числе можно вручную задать масштаб, по-всякому их раскрасить и т.п.) Нажимай F1 и читай раздел Options)
Мне кажется, он должен построить график и для функции в виде интеграла. В крайнем случае, можно вручную замутить таблицу из нескольких сотен точек, а потом скормить её в Inteprolate)
Только на каком-нибудь экзотическом пространстве. В вещественном не получится, т.к. сумма логарифмов может принимать отрицательные значения. Метрика - это любое отображение пар векторов на вещественные числа, удовлетворяющее определенным свойствам (мне лень их расписывать, смотри на вики).
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8...
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0...
Но в целом ты уловил суть: можешь написать любое выражение, удовлетворяющее этим свойствам, и это будет метрика. И вся общая теория метрики будет верна и для твоей собственной.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8...
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0...
Но в целом ты уловил суть: можешь написать любое выражение, удовлетворяющее этим свойствам, и это будет метрика. И вся общая теория метрики будет верна и для твоей собственной.
раскрыть ветку (6)
раскрыть ветку (5)
При чем тут дифференцирование и интегрирование?
ТС - topic starter, он же автор поста, он же G0nZaleZ.
раскрыть ветку (4)
раскрыть ветку (3)
Погоди. Дифференцирование - это операция над функциями, причем определена она далеко не для любых функций на любых множествах. Метрика - это отображение декартова квадрата произвольного множества на вещественные числа. Я понять не могу, где ты вообще увидел связь между ними?
раскрыть ветку (2)
В другой метрике функции же будут. И выглядеть они будут по другому.
В данном случае Круг будет задаваться формулой y=(r^3-x^3)^1/3
раскрыть ветку (1)
А, все, я тебя понял. Ну, производная - это предел отношения приращения значения функции к приращению аргумента при приращении аргумента стремящемся к нулю. Эти приращения, наверное, стоит измерять в той норме, что используется в пространстве. Но они будут коллинеарны соответственно оси y и оси x, то есть их координаты будут (0;Δy) и (Δx;0). А значит любая их норма Гёльдера будет равна Δy и Δx. То есть производные считаются так же.
Это линал, а не матан.
ТС решил для простоты не различать норму и метрику, однако в этой ветке это уже существенно. Здесь для определения расстояния он использует метрику, определяемую через норму: ρ(a,b) = ||a-b|| (это всего одна из возможных, не думай, что она всегда будет такой). Также он не различает вектор и точку, хотя элементами линейного пространства являются именно векторы, и та разность, что стоит внутри нормы - это разность векторов. Соответственно, в твоем примере на картинке a-c = (-1;-1) - (1;1) = (-2;-2). По определению ∞-норма Гёльдера (ТС называет ее L∞) равна максимуму из модулей координат вектора, то есть расстояние между a и c равно 2. Аналогично, ρ(a,b) = ||a-b|| = ||(-1;-1) - (1;-1)|| = ||(-2;0)|| = 2. Ну и при 1-норме Гёльдера расстояние здесь тоже считается как норма разности векторов, но уже со своей нормой.
И мне все-таки кажется, что число π - это одна-единственная константа, и привязана она скорее к тригонометрическим функциям, чем к метрическим или нормированным пространствам. Да, отношение длины окружности к диаметру в разных пространствах разное, но его просто не стоит называть π.
ТС решил для простоты не различать норму и метрику, однако в этой ветке это уже существенно. Здесь для определения расстояния он использует метрику, определяемую через норму: ρ(a,b) = ||a-b|| (это всего одна из возможных, не думай, что она всегда будет такой). Также он не различает вектор и точку, хотя элементами линейного пространства являются именно векторы, и та разность, что стоит внутри нормы - это разность векторов. Соответственно, в твоем примере на картинке a-c = (-1;-1) - (1;1) = (-2;-2). По определению ∞-норма Гёльдера (ТС называет ее L∞) равна максимуму из модулей координат вектора, то есть расстояние между a и c равно 2. Аналогично, ρ(a,b) = ||a-b|| = ||(-1;-1) - (1;-1)|| = ||(-2;0)|| = 2. Ну и при 1-норме Гёльдера расстояние здесь тоже считается как норма разности векторов, но уже со своей нормой.
И мне все-таки кажется, что число π - это одна-единственная константа, и привязана она скорее к тригонометрическим функциям, чем к метрическим или нормированным пространствам. Да, отношение длины окружности к диаметру в разных пространствах разное, но его просто не стоит называть π.
раскрыть ветку (1)
Да мне, в принципе, пофиг. Пусть ездит на квадратных колесах, если у него пи=4, мне жалко что ли?
раскрыть ветку (23)
раскрыть ветку (22)
Ну, если я правильно понял идею, то это старый прикол: берем квадрат со стороной 1, окда? Его длина какая? Правильно, 4, а "диаметр" - 1. Сделаем его "круглее", получив такой крестик из пяти квадратов, потом еще круглее, и еще и еще... короче, получится такой обрисованный бесконечно малыми прямыми углами круг, как пиксели на мониторе. Радиус этого круга равен 1, а если мы просуммируем все стороны этих бесконечно малых квадратов, то получим, что длина его равна 4, ибо это по сути не круг, а лесенка.
Весь прикол в том, что такими последовательными приближениями не особо-то и круг получается.
раскрыть ветку (21)
Ноуп, ты неправильно понял)
Это не прикол, а вполне себе реальная математика. В разных метрических пространствах число Пи может быть разным.
раскрыть ветку (4)
Мэх, тогда читать пост придется, а мне лень ._.
Но по дефолту у нас расстояния как в школе меряются (ну, почти), так что пи почти три.
раскрыть ветку (3)
Ну а в посте просто как раз рассказано про те случаи, где расстояние меряется не "по дефолту", и пи совсем не почти три)
раскрыть ветку (2)
раскрыть ветку (15)
Не спорю, когда я что-то кому-то объясняю, то мне хочется его убить. Потому что объяснять не умею.
раскрыть ветку (14)
Ну со льдом ты мне нормально объяснил. Правда еще не до конца понял.
А теперь представь какого мне объяснять матан детям за деньги?
раскрыть ветку (13)
Единственное, что меня раздражает больше, чем преподавательство в моем исполнении - это дети и гопники. Так что при лучшем исходе я устрою кровавую баню, поэтому и не суюсь в репетиторы.
раскрыть ветку (12)
А теперь представь когда дети гопники.
Мне слава Аллаху более менее повезло с учениками. Но иногда сидишь и думаешь "Блллл ну что тут сложного? Я это за 30 с решу", или "Какой же ты тупой, как можно быть таким тупым", а сидишь - и улыбаешься. Иногда хочется дать задачку и выйти погулять на пол часа пока он/а ее решат.
раскрыть ветку (10)
Вот я тоже улыбаюсь в такой ситуации. А в голове крутится картинка как я этому говнюку тупому голову отпиливаю.
раскрыть ветку (9)
раскрыть ветку (8)
То же самое, ибо если девочка тупая как пробка, ее внешние параметры для меня обнуляются
Ну, у нас были проблемы в 11 классе с физикой (физичка в конце года спешно ретировалась в закат) и пришлось с другом несколько уроков провести. Там хоть отдушина была - дал классу самостоятельную и с чистой совестью расставил двойки, ибо они нихера не знают (не всем, конечно, были и умненькие).
А так были моменты вроде "ну ты ж типо умный, объясни мне/другу/родственнику".
раскрыть ветку (4)
