Найдите 10 отличий⁠⁠

Хм, вы хотите поговорить об этом? :) Если да, то как вы думаете, существует ли число, которое строго больше каждого числа из последовательности {0, 0.9, 0.99, 0.999, ...), но строго меньше 1? Такой аргумент часто рассматривают, доказывая равенство (или пытаясь доказать неравенство) записей 0.(9) и 1.(0), и тут всё далеко не так просто.

Но значки корня у вас разные в примерах.

Да, всё верно – это одно из отличий. И первый знак радикала (с хвостиком справа) действительно возвращает только вещественные значения (и вычисляется только из вещественных чисел, а для корней чётной степени – только из неотрицательных). Это так называемый "surd" – школьный вариант корня. Второй знак радикала (без хвостика) выдаёт главное значение ("principal value") комплексного числа. Даже не знаю, используется ли ещё в каких-нибудь матпакетах подобное различие в обозначенях.

Такие числа можно ввести вполне строго. Например, так: пусть вначале у нас ничего нет, и в день 0 мы имеем только одно число: 0 = { | } (что означает эта конструкция, станет понятно чуть позже). Тогда в день 1 мы можем построить 2 числа: 1 = {0| } и –1 ≠ { |0}, т.е. непосредственно следующее за нулём и непосредственно предшествующее ему. На следующий день (день 2) наши возможности уже шире: мы можем построить числа 2 = {0, 1| }, –2 = { |–1, 0}, а также числа 1/2 = {0|1} и –1/2 = {–1|0) (теперь логика обозначений, думаю, уже понятна). Так мы последовательно строим целые (положительные и отрицательные) числа и дроби (со знаменателями, равными степеням 2). Наконец, в день ω мы можем построить вполне конкретное однозначно определённое число, большее всех натуральных чисел: ω = {1, 2, 3, 4, ...| } – здесь слева до вертикальной черты стоит множество всех натуральных чисел, а число ω – первое, которое появляется после них. И в этот же день появляется ещё одно число: ε = {0|1, 1/2, 1/4, 1/8, ...} – оно находится между нулём и любой дробью вида 1/2ⁿ (и тоже является вполне определённым). Но эти числа уже не являются действительными (поэтому к обоснованию равенства 0.(9) = 1.(0) их, вообще говоря, привлекать нельзя). Джон Конвей (он их придумал) называл их просто числа, а Дональд Кнут дал им название сюрреальные (surreal numbers). У Кнута есть книга, которая так и называется – если интересно, на рутрекере она имеется и в оригинале, и в переводе.

Да, концепция бесконечности с трудом укладывается в рамки здравого смысла – ей просто нет аналогий в повседневной жизни. Тем не менее, мы вполне строго можем определить число, которое больше всех натуральных чисел (и назвать его, например, ω). Тогда обратное ему число ε = 1/ω будет меньше любого положительного действительного числа (сколь мало бы оно ни было), но при этом строго больше 0. Тогда, как это ни удивительно, существует число α = 1–ε, которое строго меньше 1, но при этом строго больше любого числа из множества {0, 0.9, 0.99, 0.999, ...}. В общем и целом, это показывает, что претензии противников равенства 0.(9) = 1.(0) не так уж безосновательны (хоть это никак и не влияет на то, что записи 0.(9) и 1.(0) обозначают одно и тоже действительное число).

Да, к сожалению, запись 0.(0)1 некорректна – ей не отвечает ни одно действительное число, т.к. в скобках содержится бесконечное количество нулей, и у нас нет последнего нуля, после которого мы могли бы поставить единицу. Здесь нужны более строгие методы. Но, в общем и целом, вы (в некотором смысле) рассуждаете в правильном направлении.

В каком смысле "всегда есть"? Это какое-то конкретное число? Если да, то чему оно равно? Я не имею в виду, что для каждого элемента ряда всегда найдётся такое число – это очевидно. Я имею в виду вполне определённое число, которое строго больше одновременно всех чисел в этом ряду, но при этом строго меньше 1. Имеет ли это какое-то отношение к равенству (или неравенству) записей 0.(9) и 1.(0) как действительных чисел – это уже другой вопрос.

На самом деле, это задумывалось как пост-шутка, и на картинках действительно есть (как минимум) 10 отличий. Часть из них относится к математике. Я сам только накануне узнал, что у Mathematica, оказывается, есть два различных обозначения для знака радикала, которые дают разные значения корней. Считает-то оно всё верно, только первый вариант – школьный, а второй – вузовский. Ну а так, конечно синус может иметь любое значение – он же определяется через экспоненту (если мы не на школьном уроке по алгебре).

А вольфрам вроде возвращает тот корень, у которого наименьший аргумент.

Да – это и есть определение главного значения корня: максимальная вещественная часть и минимальный модуль аргумента. У вольфрама для корней целый набор функций: Sqrt, CubeRoot, Surd, Power – и каждая возвращает свои значения. За "школьное" определение отвечают CubeRoot и Surd – на рисунке это радикал с "хвостиком". Главное значение корня выдают Sqrt и Power – радикал с "винкулум" (без "хвостика"). Но, вообще, "главное" значение – понятие относительное и его (в общем случае) можно определять произвольно в зависимости от контекста. А все корни проще всего вернуть, наверное, так:

z /. Solve[z³ == –8, z] // ComplexExpand
> {–2, 1 + 𝕚·√3, 1 – 𝕚·√3}

Арифметический корень обычно определяется только для неотрицательных действительных чисел – такое соглашение очень удобно, т.к. исключает всякую неоднозначность. Корни нечётной степени из отрицательных чисел, изучаемые в школе, обычно называют просто "корень" – например, √4 = 2 – это арифметический квадратный корень из 4, а ∛(–8) = –2 – просто кубический корень (т.к. других действительных корней третьей степени из –8 нет, а у корня квадратного из 4 есть ещё одно значение: –√4 = –2).

В английском языке, кстати, всё немного по-другому: понятие "арифметический корень" обычно вообще не используется, но вводится понятие "the principle value" – главное значение корня, которое распространяется и на комплексные числа. При этом положительное значение квадратного корня (вместо "the principle square root") обычно называют просто "the square root" – т.е. не любой корень, а особый. Благо, наличие артиклей это позволяет. А про ∛(–8) = –2 говорят "the (real) cube root", при этом ∛(–8) = 1 + 𝕚·√3 – "the principal cube root".

Например, одно из отличий: на первой картинке ∛(–8) = –2, на второй ∛(–8) = 1 + 𝕚·√3, причём и там, и там считал авторитетный матпакет Wolfram Mathematica. Вопрос: почему результаты получаются разными, где искать правду бедному школьнику и чему на самом деле равен корень кубический из –8? Но это только одно из отличий – есть и другие.

Не совсем: ∛(–8) = –2 – это не арифметический корень (они определены только для неотрицательных чисел и возвращают только неотрицательные значения). С обозначениями корней много путаницы (имеющей естественное объяснения, т.к. функция корня n-й степени по своей природе многозначна). Так, запись ∛(–8) = 1 + 𝕚·√3 столь же корректна, как и ∛(–8) = –2. Стандартных средств отличить эти равно возможные значения корня (университетское и школьное) не существует – вот Mathematica и изголяется. И это мы ещё не вспомнили про 1 – 𝕚·√3 (который является третьим значением алгебраического корня).

Пост развлекательный – найти 10 отличий между двумя картинками. Для тех, кто умеет вычислять корни – объяснить, почему они получаются разные (хотя записи выглядят очень похоже).

Ну, так-то в любом матпакете могут быть косяки – их ведь люди пишут. Но здесь, если что, косяков нет – всё имеет своё объяснение (хотя на первый взгляд и выглядит немного странно).

Так в чем суть поста?

Найти 10 отличий в картинках. Суть отличий для ребёнка, старшеклассника и студента будет разной.