Ответ на пост «Boy, that escalated quickly»⁠⁠1

Развернём тор в квадрат 2π×2π. Точки (x,y) и (x + 2πkx, y + 2πmy) считаются эквивалентными.

А теперь проведём через (0,0) прямую с угловым коэффициентом √2.

2π — это шесть с гаком. Но для простоты на картинке они изображены как 2 с гаком, да и √2 не очень в масштабе — шут с ним. Главное, что три числа 1, √2 и 2π несоразмерны (то есть их отношения иррациональны).

Наше множество — это жирные красные точки (n, √2n), n∈ℕ₀. И нам нужно доказать такое: если их все заэквивалентить в один квадрат 2π×2π, получим плотное множество. А для этого действуем так.

Ткнём где-то точку (x,y), выберем маленькое ε, и докажем две вещи.

АДЫН. Можно найти точку, достаточно близкую (по эквивалентности) к любому x (на y чхаем).

2πn+x заменим на (2π−6)n+x, ничего не изменится. Обозначим 2π−6≈0,28 за a.

Начнём с x=0 и сделаем несколько шажков этой формулой: на третьем не добираемся до единицы на 0,15, а на четвёртом уже имеем 1,13. Таким образом, мы шажками на a (что эквивалентно шажкам на 2π) можем приблизиться к целому числу не просто на a≈0,28, а на a/2≈0,14 — не только для x=0, а для любого x.

Обозначим эти четыре шага как «шаг второго порядка», и он короче, чем a/2. Шаг третьего порядка, состоящий из семи шагов второго порядка, будет ходить на 0,0088 уже в минус, и так далее — то есть мы можем соорудить шаг короче любого ε.

Что может пойти не так? Только то, что какой-то шаг станет нулём — но это возможно, если изначальный шаг 2π рациональный. То есть мы полагаемся на несоразмерность шагов по разным координатам.

Кроме того, отсюда видно: чтобы добиться точности ε, нужно быстро растущее при ε→0, но всё-таки зависящее только от а и ε (но не от начального x!) количество элементарных шагов s(a,ε). Функция, как уже сказано, определена только для рациональных a, но она симметрична по a, убывает для отрицательных a и возрастает для положительных, и ничего не стоит её доопределить. Чему равна — облом выписывать: скажем, для a≈0,4 и ε=0,05 она s(0,4; 0,1) = 3 + 6·3 + 11·6·3 (ходьба шажками 0,4, затем чуть меньшими 0,2, затем чуть меньшими 0,1).

Поскольку a лежит в пределах ±0,5, и чем оно больше по модулю, тем выше наше потребное количество элементарных шагов s, то у функции есть верхняя грань по a — s(ε) := maxₐ s(a,ε) = s(±0,5, ε).

ДЖВА. Можно найти точку, достаточно близкую к любому x и y.

По первому утверждению приближаемся к нашему x с точностью ε/2. При этом y выходит произвольный.

Опять-таки по первому утверждению добиваемся шажка по x не более ε/2s(ε). Приняв то, что получилось, за базовый шаг, приближаемся к нашему игреку с точностью ε, при этом по x уйдём максимум ещё на ε/2.