Деление на 0 и пределы⁠⁠

Почему предел: хочется не просто доопределить значение в нуле. Это действительно можно сделать как угодно. Хочется чтобы это было согласованно как-то с предыдущими операциями.

0^0 в таком случае должно быть согласованно с функцией f(x,y) =x^y при x=y=0. В идеале хочется аналитически продолжить. Но это сделать невозможно. Так понятнее стало?

В математике есть полуофициальная договоренность, что сумма нуля слагаемых это ноль, а произведение нуля множителей это единица. То есть когда мы применяем операцию ноль раз, то получаем нейтральный элемент по этой операции. Поэтому с одной стороны x^0=1 для всех х. C другой, возведение нуля в любую степень вроде как должно давать 0. Поэтому 0^x=0. Собственно, отсюда и проблема с тем, чтобы выбрать одно значение и зафиксировать его.

Степень вводится последовательно. Сначала натуральная, потом целая, рациональная, комплексная. Натуральная x^y- это как раз перемножение x в количестве y. Целая - добавляются обратные элементы. Рациональная добавляет корни. Вещественная определяется уже через пределы. То есть x^y, где y вещественное число, это предел последовательности x^{y_k}, где {y_k} это рациональная последовательность, которая сходится к y. Или, если угодно, это аналитическое продолжение функции возведение в рациональную степень. Однако эту функцию нельзя продолжить в 0 аналитически.

Представь картинку, где у тебя к точке (0,0) на плоскости подходят все возможные линии (на самом деле последовательности (x,y), которые сходятся к (0,0) ). В это точке перпендикулярно идет прямая. И эти линии входят в эту прямую в разных точках. Вот что-то такое там происходит. На языке формальной математике говорят, что в этой точке нет двойного предела.

Если ∞*0=0, то бесконечность явно не является обратным к нулю по умножению.

0+0=0 вроде бы очевидное тождество. В чем тут обман?

На самом же деле проблема в том, что если присоединить к числам обратный для нуля, то поломаются некоторые аксиомы, к которым люди привыкли с детства. Собственно, в ролике, который к посту прикреплен, об этом рассказывается подробнее.

Речь про ноль в математике. Там ноль это нейтральный элемент некоторой абелевой группы. А уж как это интерпретировать - дело десятое.

Математика очень хорошо совмещается в физикой. В том числе и всякие хитрости.

Видосик прикреплен как раз про это. Там и про колеса, и про луга. Колеса есть, но проблема в том, что по сложению они не абелева группа. А это уже сильно мешает работе с ними.

Ответ: ни то и не другое, 0^0 не определен, NaN, если угодно. А дальше пояснения почему это не определено, почему не хочется назначить какое-то конкретное значение в качестве результата.

Что такое число ∞?

Утверждение о том, что ноль делится на ноль, вообще говоря, верно. Ведь 0=1*0. Но при этом не корректно считать 0/0=1, так как есть и другие решение уравнения 0*x=0. А точнее все числа являются решениями. В том числе и 10, и 22.

Я уже давно учился, но у меня в голове отложилось, что это скорей удобный трюк, который позволяет использовать комплексный анализ вместо вещественного.

Про отрицательную площадь говорят когда интегралы изучают. Дело в том, что есть направленная и ненаправленная мера (или площадь, если мера на двумерном многообразии). Например, определенный интеграл от -1 до 1 синуса равен нулю, так как площади "компенсируют друг друга.

В школе обычно изучают не направленную меру, да еще и на плоскости, ну и немного на сфере. И она действительно положительна по определению. Другое дело, что в школе редко когда дают корректную теорию меры и вместо этого просто руками машут и выдают готовые формулы.

Что такое площадь векторного пространства в твоих терминах? В математике говорят про меру(площадь) множеств на некотором многообразии (двумерном многообразии).

Ошибки не в математике, ошибки могут быть в ее интерпретации, когда люди берут некоторые результаты и пытаются их применять бездумно. Или брать свои определения, и к ним применять результаты, записанные в другой терминологии. Математики тут тоже отчасти виноваты, ибр далеко не везде и не всегда терминология совпадает, если локальные обозначение. Например, для алгебраиста и аналитика дифференцирование определяется немного по-разному.

Некоторые вещи в математике куда проще делать, если выходить за рамки множества, с которым работаешь. Например, для изучения теории делимости натуральных чисел внезапно оказывается полезным комплексный анализ. Например, для доказательства теоремы Дирихле.

Применяются ли математические теории на практике? Ну да, применяются. Есть там странные вещи? Да. Применяется ли ноль на практике? Тоже да.

Типа ∞*0=1. Если да, то 1=∞*0= ∞*(0+0)=∞*0+∞*0=1+1=2. Так пойдет?

Как раз описанием свойств и является отсутствие предела. В некоторой ситуации отсутствие предела обозначают конкретным образом (предел чего-то равен бесконечности), но эта запись значит именно отсутствие предела. Причем так, что функция или последовательность неограниченно растет.

И это не трудно понять, если взять определение предела из анализа. Даже присоединив бесконечность, последняя не будет пределом.

Про мутность согласен. Ведь один из моих посылов как раз и был в том, что в матане (и в дифференциальном исчислении в частности) нет, вообще говоря, деления на 0. Там есть определенность типа 0/0, которая как раз раскрывается каким-нибудь приемом аля ряд Тейлора или правило Лопиталя. Там есть запись типа предел равен бесконечности, которые значат на самом деле, что функция или последовательность неограниченно растет. Но именно деления нет. Иногда бесконечность (или пару) добавляют, но это получается уже довольно странная штука (расширенная числовая прямая или расширенная комплексная плоскость или проективное пространство в зависимости от того как это делать), где часть операций определены не полностью.

Хотя звучит похоже, но это два разных утверждения.

Число a делится на b если существует с, что a=bc. Поэтому 0 делится на 0.

А вот деление это бинарная операция (то есть функция их A× (A\{0}) -> A) не определена для пары (0,0). И не может быть определена никаким образом, который был бы согласован с умножением (чтобы операция 1:x бы давало обратный элемент по умножению).

Нет. Это как раз значит что делить нельзя. То есть утверждение что ноль делится на ноль верное, но результат операции 0:0 не определен.

И что получится?

Одно от другого не сильно отличается в данном случае.

Есть вопрос чему равно 0^0, ответ - ничему, не определено значение. И есть другой вопрос: а почему не определено. Доопределить казалось бы можно. Но этого не сделали.

Не совсем так. То о чем ты говоришь это про степень как кратное повторение умножения, да ещё и в моноиде. В полугруппах без единицы ничего такого нет, но там и возведения в 0ю степень нет. =)

Ну так эта "зонтичность" и не дает четкого критерия. Более того, существуют разные "числовые" множества. И ничто не мешает, вообще говоря, придумать новую структуру и назвать ей "новоструктурные числа".

Я теорию категорий не вполне освоил. Но я точно уверен, что там нет чисел.=)

То о чем ты говоришь, это натуральные числа. С ними все понятно (на уровне определения, конечно, открытых проблем очень много). Аналогично и с другими классическими и не очень числовыми множествами. Я же про число как таковое. А раз нет четкого определения числа, то и трудно объяснить почему бесконечность не число. Я, конечно, спрашиваю иногда людей что это такое, но они не могут сформулировать.

При этом взять расширенную вещественную прямую (это когда добавлены плюс и минус бесконечности), или комплексные числа с бесконечной точкой, вообще говоря можно. Или вообще рассматривать колеса, луга или еще какие неклассические алгебраические (или не очень, с частичными операциями можно) системы можно. Но это ещё сложнее, ведь там часть привычных свойств не работает.

Отчасти, это связано и с учителями, которые не до конца понимают такие вещи, поэтому транслируют детям глупости.

Собственно, само понятие "число" в математике определяется плохо. Есть вещественные числа, комплексные, натуральные и так далее, но нет чисел самих по себе.

Ну и каша, когда некоторые сокращения воспринимаются как вычисления типа lim 1/x = inf при х->0 воспринимается как существование предела.

Как символ в операторе суммирования, который на самом деле хитро написанный оператор взятия предела. Фактически никаких арифметических действий с бесконечностью тут нет.

Аналогично, когда пишут, что предел равен бесконечности это означает, что последовательность или функция неограниченно растет, но предела как такового нет.

Теорема Остроградского-Гаусса тут причем? Это же про сведение тройного интеграла по объему к двойному по поверхности? Как это доказывает конечность вселенной? В классической электродинамике все ещё и в евклидовом пространстве работает.

В физике, конечно, же не делят на ноль. В математике как правило тоже. О чем и был пост. Хотя иногда можно, и там ссылка на ролик с пояснением.

Тем не менее, кое-какие вещи в физике неприятные происходят. Например, в классической механике, в гидродинамике есть ударные волны. На границе ударной волны получается разрывная функция. Это, конечно, не бесконечность или деление на ноль. Но вообще-то это страшно неприятная штука. Да в целом границы раздела среды. Ведь для разрывных функций нельзя брать производные. А значит локально нельзя записать дифференциальные законы сохранения. А значит нужно решать интегральные уравнения. А это, мягко говоря, очень плохо, это очень сложно.

Если ты про векторные поля, то они есть и в вещественном, и в комплексном анализе. То, что в физике называется "векторная" величина.

Что такое векторный анализ?

А почему не 10? Или не 22?

Не равен. Если взять предел x^x при x стремящемся к нулю, то будет 1. Это классический пример.

Но чтобы доопределить 0^0 нужно было бы брать предел x^y, где x и y стремятся к нулю одновременно. А такого предела не существует. Так как в зависимости от скорости сходимости можно получить разные значения.