Линейные преобразования графиков
Преобразования графиков как правило связаны с преобразованием определяющих эти графики уравнений, выражений или отдельных переменных.
В этой статье мы рассмотрим линейные преобразования – то есть такие, при которых переменная/выражение складывается с числом или умножается на число (но не на переменную!) Несколько линейных преобразований подряд – это тоже линейное преобразование.
Умножению соответствует растяжение/сжатие/отражение графика (отражение получается при умножении на отрицательное число)
Сложению соответствует сдвиг графика.
При линейных преобразованиях прямые линии остаются прямыми (отсюда и название). Но применить линейные преобразования можно как к прямой, так и к кривой линии.
Начнем с преобразования графиков функций, а затем рассмотрим преобразование графиков произвольных уравнений (например, окружность задается уравнением, но зависимость, описанную таким уравнением, нельзя назвать функцией).
Преобразования графиков функций
Предположим, что построен график для функции y = f(x). Это наша начальная функция и начальный график.
Если a, b, k, n – действительные числа, то помощью линейных преобразований мы сможем построить графики функций
y = f(ax + b),
y = k·f(x)+n,
и даже y = k·f(ax + b)+n
Сформулируем порядок действий при преобразованиях графиков функций и воспользуемся им для решения задач.
1) Определить порядок действий при вычислении значения y по значению x.
2) Определить начальную функцию f и построить ее график.
3) Для действий, выполняющихся до вычисления начальной функции, выполнить соответствующие преобразования вдоль оси Ox в обратном порядке и «шиворот-навыворот» (т.е., при сложении с положительным числом смещать график влево, а не вправо, при умножении на число >1 сжимать график, а не растягивать, не расширять)
4) Для действий, выполняющихся после вычисления начальной функции, выполнить соответствующие преобразования вдоль оси Oy в прямом порядке и «как есть» (при сложении с положительным числом сдвигаем вверх, и т.п.)
Рассмотрим несколько примеров.
2) Третьим действием является нелинейное преобразование. Удобно именно его выбрать в качестве начальной функции f(x) = √x
3) Вдоль оси Ox(по горизонтали) выполняются преобразования 2 и 1:
4) Вдоль оси Oy (по вертикали) выполняются преобразования 4 и 5:
Графики будут выглядеть вот так:
2) Третьим действием является нелинейное преобразование. Удобно именно его выбрать в качестве начальной функции f(x) = cos x
3) Вдоль оси Ox(по горизонтали) выполняются преобразования 2 и 1:
Заметим, что растяжение вдвое – то же, что сжатие в 0,5 раза, а растяжение в 6/π соответствует сжатию в π/6 раза.
4) Вдоль оси Oy(по вертикали) выполняется преобразование 4:
Графики будут выглядеть вот так:
Заметим, что здесь к первому слагаемому прибавляется 2x – не число, а выражение с переменной. Это не соответствует линейному преобразованию, но мы можем попробовать привести данный двучлен к такому виду, где все преобразования будут линейными.
Данный график вы можете построить самостоятельно по тому же алгоритму (не забудьте про отражение при умножении на отрицательное число)
Преобразования графиков, заданных уравнениями
Для понимания этого раздела необходимо понять предыдущий, т.к. повторного объяснения нет.
Сформулируем порядок действий при линейных преобразованиях графиков уравнений.
1) Построить начальный график уравнения.
2) Определить линейное преобразование, которое требуется применить к переменной x.
3) Применить требуемое линейное преобразование ко всем вхождениям переменной и соответственно преобразовать график вдоль оси Ox.
А именно: выполнить соответствующие преобразования вдоль оси Ox в порядке, обратном порядку действий линейного преобразования и «шиворот-навыворот» (т.е., при сложении с положительным числом смещать график влево, а не вправо, при умножении на число >1 сжимать график, сужать его)
4) Повторить пункты 2 и 3 для переменной y и оси Oy.
5) Если система координат трехмерная, то повторить пункты 2 и 3 для переменной z и оси Oz.
Простейший пример с уравнением окружности или сферы можно найти в любом школьном учебнике, так что мы рассмотрим другой пример.
Для понимания следующего примера необходимо уметь строить графики уравнений с модулем:
Графики уравнений с модулем
