Графики уравнений с модулем
I.
В школьном курсе математики рассматривается функция y = |x| - самое простое уравнение с модулем, содержащее обе переменные x и y.
Вспомним алгебраическое определение модуля числа:
В соответствии с определением, для построения нашего графика необходимо рассмотреть отдельно два случая:
(1) х ≥ 0, (2) х < 0
На каждом из двух промежутков раскроем модуль по определению.
В результате получим кусочно-заданную функцию, где правее нуля график является частью прямой y = x, левее нуля - частью прямой y = -x
Заметим, что в точке x = 0 обе части графика смыкаются, образуя непрерывную ломаную линию. В этой точке -x = x, т.е., -0 = 0.
Эта точка, место смыкания "кусочков", называется точкой излома.
II.
Рассмотрим чуть более сложный случай: y = | 2x | + | x - 1 |
Здесь у нас два различных подмодульных выражения. Каждое из выражений даст нам излом в той точке, в которой оно обращается в ноль.
Между этими "нулями" легко определить, с каким знаком раскрыть модули. После раскрытия модулей и приведения подобных график будет строиться следующим образом:
Порядок построения графиков с модулями состоит в том, чтобы
(1) определить области, в которых знаки всех подмодульных выражений постоянны;
(2) для каждой такой области раскрыть модули с нужными знаками;
(3) после этого в каждой области построить часть графика в соответствии с вычисленной для этой области формулой.
Примечание: мы рассматриваем под модулем непрерывные функции, их знаки постоянны на промежутках, где значения функций не равны нулю.
III.
Ранее мы рассматривали уравнения с переменной x под знаком модуля.
Усложним задачу: | x + y | + | 2x – y | = 3
Теперь подмодульные выражения содержат обе переменные.
Тем не менее, в соответствии с изученным ранее порядком действий (1) определим область, в которой x + y ≥ 0 (т.е., y ≥ -x ), и область 2x – y ≥ 0 (т.е., y ≤ 2x ). Их пересечение даст нам область, в которой оба модуля раскрываются со знаком "+"
(2) Видим, что оба условия выполняются в серой области. В ней наш график имеет вид x + y + 2x - y = 3. После приведения: x = 1.
(3) Построим часть прямой x = 1 в серой области (зеленый отрезок).
IV.
Рассмотренные варианты демонстрируют общий подход к решению данной задачи. В рамках этого подхода попробуйте построить графики следующих уравнений:
| x + y | + | 2x – y | + | y | = 5
| x + y | - | 2x – y | = 3
| x^2 – 1 – y | + 3| y | = 3
(икс в квадрате!)
V.
Предлагаю отдельно рассмотреть случаи, когда единственный модуль равен константе.
Например, | x | = 3, | y | = 1, | x + 2y | = 4
Действуйте так же - начните с поиска областей, в которых подмодульное выражение имеет постоянный знак.