NefedovaElena

Относительные длительности

Представим себе велосипед, который едет с постоянной скоростью по дорожке с музыкальными кнопками. При наезде велосипеда на кнопку издается музыкальный звук. Допустим, что кнопки расположены через каждый метр. Тогда новый звук будет издаваться через одинаковые промежутки времени, длительность которых мы назовём целой долей (целой нотой). Ее на нотном стане изображают незакрашенным овалом. А на параллельной дорожке такие же кнопки расположены через каждые полметра. Предположим, что по ней едет второй велосипед с такой же скоростью, как у первого. Понятно, что звуки на второй дорожке будут издаваться в два раза чаще, а промежутки времени между ними будут вдвое короче. Длительность таких промежутков мы назовем половинной долей (нотой). Ее изображают незакрашенным овалом с палочкой. Направление палочки вверх или вниз выбирается из соображений удобства и может быть разным для одной и той же ноты.

Более мелкие длительности получаются при делении более крупных пополам (за редким исключением). Таким образом мы можем получить четверти, восьмые доли, шестнадцатые и т.д. Все эти длительности изображаются закрашенным овалом с палочкой и (возможно) некоторым количеством "хвостиков"

Как видим, восьмые и шестнадцатые ноты имеют "хвостики", которые можно как соединять друг с другом, так и писать отдельно.

Паузы

Если мы хотим изобразить пропуск звука, то вместо нот используются специальные знаки - паузы. Паузы также различаются длительностью.

Такты и музыкальный размер

В музыке на некоторых нотах делается большее ударение, чем на других (так же, как в речи или пении). Перед такими "сильными" звуками в нотной записи ставится вертикальная черта, называемая тактовой чертой. Музыкальный такт - это все нотные знаки, расположенные между двумя соседними тактовыми чертами.

Музыкальный размер записывается в виде дроби и показывает число одинаковых долей в такте и их длительность. В примере ниже показано, что между тактовыми чертами суммарная длительность нот равна трем четвертям.

Музыкальный размер задается однократно и действует до конца музыкального произведения или до тех пор, пока не будет задан новый размер. Ниже пример "неровной" мелодии с частой сменой размера.

На фортепианной клавиатуре белые клавиши соответствуют этим названиям.

История названий нот: https://руни.рф/Ut_queant_laxis

Интервалы

Интервалы – это «расстояния» между звуками.

В физическом смысле это отношение частот двух звуков.

Октава

Октавой называют интервал, в котором физическая частота одного звука в два раза больше частоты другого. Звук с большей частотой считается более высоким.

Для человека естественно повторить мелодию на октаву ниже, если он не может голосом спеть высокие ноты. Это часто получается само по себе.

Полутон

В европейской музыкальной традиции октава делится на 12 полутонов.

Полутон – это музыкальный интервал, где частота верхнего звука больше частоты нижнего звука примерно в 1,06 раз (точнее - в "корень 12-й степени из двойки"  раз)

Диезы (#) и бемоли (b)

Диез означает повышение звука на полтона, бемоль – понижение на полтона.

Названий для нот всего 7, и они соответствуют белым клавишам на фортепиано. Для пяти черных клавиш используется название с повышением или с понижением (например, соль-диез или ля-бемоль – это одна и та же черная клавиша между соль и ля)

Если между белыми клавишами нет черной, то повышение на полтона – это уже следующая нота (например, си-диез – это до)

Второй смысл слова «октава»

– это все звуки между нотами до и си включительно (если сыграть их на фортепианной клавиатуре слева направо). В этом случае у октав есть названия: https://руни.рф/Октавная_система#/media/Файл:Octaves-notes-ru.svg

Эталонный звук ля

В качестве эталонного используется звук ля первой октавы с частотой 440 Гц

Запись звуков на нотном стане

Для записи звуков используются ноты и пятилинейная строка, называемая нотным станом.

Ноты изображаются овалами с палочками (или просто овалами).

Ноты поднимаются и опускаются по нотному стану на половину расстояния между линиями. Каждое такое повышение – это следующее название ноты (а вовсе не количество полутонов, которое может быть разным в разных случаях)

Каждая строка начинается со знака, задающего положение «главной» ноты – так называемого музыкального ключа.

Например, скрипичный ключ показывает, что на соответствующем нотном стане на второй линии расположена нота соль первой октавы. Остальные ноты рассчитываются относительно неё.

Если ключ не скрипичный, то нота соль будет на другой линии!!! (и все остальные тоже)

Басовый ключ показывает, что нота фа малой октавы находится на четвертой линейке нотного стана. Чтобы записать в этом ключе ноты первой октавы придется добавлять ещё линии над основными пятью. Ниже нота до первой октавы не попадает на нотный стан, и для нее добавлена еще одна линия сверху.

Для ноты соль первой октавы в басовом ключе придется добавить сверху сразу три линии. Таким образом, басовый ключ используется для удобной записи низких звуков, а скрипичный - для записи высоких.

Преобразования графиков функций

Предположим, что построен график для функции y = f(x). Это наша начальная функция и начальный график.

Если a, b, k, n – действительные числа, то помощью линейных преобразований мы сможем построить графики функций

y = f(ax + b),

y = k·f(x)+n,

и даже y = k·f(ax + b)+n

Сформулируем порядок действий при преобразованиях графиков функций и воспользуемся им для решения задач.

Рассмотрим несколько примеров.

2) Третьим действием является нелинейное преобразование. Удобно именно его выбрать в качестве начальной функции f(x) = √x

3) Вдоль оси Ox(по горизонтали) выполняются преобразования 2 и 1:

4) Вдоль оси Oy (по вертикали) выполняются преобразования 4 и 5:

Графики будут выглядеть вот так:

2) Третьим действием является нелинейное преобразование. Удобно именно его выбрать в качестве начальной функции f(x) = cos x

3) Вдоль оси Ox(по горизонтали) выполняются преобразования 2 и 1:

Заметим, что растяжение вдвое – то же, что сжатие в 0,5 раза, а растяжение в 6/π соответствует сжатию в π/6 раза.

4) Вдоль оси Oy(по вертикали) выполняется преобразование 4:

Графики будут выглядеть вот так:

Заметим, что здесь к первому слагаемому прибавляется 2x – не число, а выражение с переменной. Это не соответствует линейному преобразованию, но мы можем попробовать привести данный двучлен к такому виду, где все преобразования будут линейными.

Данный график вы можете построить самостоятельно по тому же алгоритму (не забудьте про отражение при умножении на отрицательное число)

Преобразования графиков, заданных уравнениями

Для понимания этого раздела необходимо понять предыдущий, т.к. повторного объяснения нет.

Сформулируем порядок действий при линейных преобразованиях графиков уравнений.

Простейший пример с уравнением окружности или сферы можно найти в любом школьном учебнике, так что мы рассмотрим другой пример.

Для понимания следующего примера необходимо уметь строить графики уравнений с модулем:
Графики уравнений с модулем

На каждом из двух промежутков раскроем модуль по определению.

В результате получим кусочно-заданную функцию, где правее нуля график является частью прямой y = x, левее нуля - частью прямой y = -x

Заметим, что в точке x = 0 обе части графика смыкаются, образуя непрерывную ломаную линию. В этой точке -x = x, т.е., -0 = 0.

Эта точка, место смыкания "кусочков", называется точкой излома.

II.

Рассмотрим чуть более сложный случай: y = | 2x | + | x - 1 |

Здесь у нас два различных подмодульных выражения. Каждое из выражений даст нам излом в той точке, в которой оно обращается в ноль.

Между этими "нулями" легко определить, с каким знаком раскрыть модули. После раскрытия модулей и приведения подобных график будет строиться следующим образом:

Порядок построения графиков с модулями состоит в том, чтобы

(1) определить области, в которых знаки всех подмодульных выражений постоянны;

(2) для каждой такой области раскрыть модули с нужными знаками;

(3) после этого в каждой области построить часть графика в соответствии с вычисленной для этой области формулой.

Примечание: мы рассматриваем под модулем непрерывные функции, их знаки постоянны на промежутках, где значения функций не равны нулю.

III.

Ранее мы рассматривали уравнения с переменной x под знаком модуля.

Усложним задачу: | x + y | + | 2x – y | = 3

Теперь подмодульные выражения содержат обе переменные.

Тем не менее, в соответствии с изученным ранее порядком действий (1) определим область, в которой x + y  ≥ 0 (т.е., y  ≥ -x ), и область 2x – y ≥ 0 (т.е., y  ≤ 2x ). Их пересечение даст нам область, в которой оба модуля раскрываются со знаком "+"

(2) Видим, что оба условия выполняются в серой области. В ней наш график имеет вид x + y + 2x - y = 3. После приведения: x = 1.

(3) Построим часть прямой x = 1 в серой области (зеленый отрезок).

IV.

Рассмотренные варианты демонстрируют общий подход к решению данной задачи. В рамках этого подхода попробуйте построить графики следующих уравнений:

| x + y | + | 2x – y | + | y | = 5

| x + y | - | 2x – y | = 3

| x^2 – 1 – y | + 3| y | = 3

(икс в квадрате!)

V.

Предлагаю отдельно рассмотреть случаи, когда единственный модуль равен константе.

Например, | x | = 3, | y | = 1, | x + 2y | = 4

Действуйте так же - начните с поиска областей, в которых подмодульное выражение имеет постоянный знак.