Задачка.⁠⁠

1. Почти да. В стандартном матане это формальный символ, т.е. числового значения у него нет.

2. Да.

3. Вроде того.

4. Да.

Дело в том, что как раз из нахождения минимума для функционала Лагранжа и выросло вариационное исчисление. Поэтому там написана функция L, хотя может быть вообще любая.

Подожди с вариациями.

Смотри.

Мы хотим оперировать функциями как числами. Складывать, умножать... сравнивать.

Можно сказать, что 2 к 3 ближе, чем 3 к 10.

Про функции такой вопрос тоже встаёт, так что мы каким-нибудь образом вводим понятие близости функций.

Обычно вводится так: 2 функции близки в смысле близости 1 порядка, если в каждой точке 1 функция где-то рядом со 2. Тогда мы получим как на 1 картинке, эти функции примерно близки.

В смысле 2 порядка -- если в каждой точке у них уже близки производные, тогда у них примерно близки касательные, и мы получаем 2 картинку. И так далее...

Вот таким вот образом мы получаем возможность рассматривать функции и бесконечно близкие к ним функции.

А, ну ещё мы вводим сложение функций и умножение на число:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(a * f)(x) = a * f(x), a - число

Таким вот образом, бесконечно близкая к f функция - это f + e*g, где e - бесконечно малое, а g - любая другая (любая, вроде, но не уверен).

Учти! На экзамене нельзя говорить про бесконечно малые, это я для понимания объясняю ).

Соответственно, можно вывести аналог производной... Но на самом деле уравнение Эйлера-Лагранжа и есть производная для функционалов, да. Её приравнивание к нулю, в смысле.

Гугли, короче, это я не объясню)

Множество вещественных функций не только существует, но и центральный объект исследований функционального анализа (точнее, там комплексные функции).

И более того! Это не просто множество, а линейное пространство). Сложение и умножение на число я уже ввёл, всеми нужными свойствами они обладают. Причём линейное пространство это бесконечномерно, и в нём бесконечный базис.

Разложение функции в ряд Тейлора -- фактически, разложение по базису функций 1, x, x^2, x^3... до бесконечности.

Разложение в ряд Фурье -- тоже самое, только по 1, sin(pi*x), cos(pi*x), sin(2pi*x), cos(2pi*x), sin(3pi*x)...

И скалярное произведение есть даже, с его помощью и раскладывают в ряд Фурье. Впрочем, я забегаю вперёд ).

Также, правильно ли я понимаю, что x*(t) в L на самом деле никак не относится к вариации? То есть, если я при сдаче напишу вместо L(t, x(t), x*(t)), что-то типа "z(x, y(x))" и скажу, что это просто "какая-нибудь функция" - то это тоже будет верно?

Нет, неверно: принято указывать явно зависимость подинтегрального выражения от производной.

Правильно ли, что производная в той картинке с вики присутствует лишь потому, что того требует выведенная Лагранжем функция L? А на деле, там может и не быть производной, а может быть производная 3ей степени, а может... да что угодно?

Да, в общем случае - да. Но тут такое дело, что обычное уравнение Эйлера-Лагранжа работает только для функционалов, зависящих от x, y(x), y'(x). Туда можно запихнуть и вторую-третью производную, и несколько функций, только уже будет какое-нибудь уравнение Эйлера-Остроградского и т.п. Там куча разных вариантов.

Так-с. Вроде всё объяснил?

Я сдал уравнения матфизики :З

Правда, на 3, ибо преподу было лень ждать, пока я выведу четырёхмерную функцию Грина, но зато напрягаться не особо пришлось ).

Ну и зачёты все на 4ки кроме одного (физики :с ).