Задача с дырявыми банками
Приветствую всех любителей поломать мозги логикой и математикой.
Попробуйте решить следующую задачку:
По дороге едет грузовик, который перевозит банки с краской и движется он со скоростью 10 сантиметров в секунду. В двух банках образовались дырки и краска капает на дорогу . Каждый раз, когда капля падает на дорогу, образуется полоска длиной 10 сантиметров.
Из первой банки с периодом 5 секунд падает две капли - первая капля в первую секунду каждого периода, вторая в третью секунду каждого периода. Из второй банки с периодом 7 секунд тоже падают две капли - первая капля в первую секунду каждого периода, вторая в третью секунду каждого периода.
Известно, что иногда капли из разных банок капают одновременно.
Вопрос 1: какое расстояние проедет грузовик за три часа ?
Вопрос 2: какой максимальной длины на дороге будут непрерывные покрашенные полоски?
Конечно, это лёгкие вопросы, но случилось страшное - стали подтекать ещё две банки:
из одной с периодом 11 секунд падает две капли - первая капля в первую секунду каждого периода, вторая - в пятую секунду каждого периода. Из второй банки с периодом 13 секунд тоже падают две капли - первая капля в первую секунду каждого периода, вторая - в пятую секунду каждого периода.
Известно, что иногда капли из всех банок капают одновременно.
И вопрос: какой максимальной длины на дороге будут образовываться покрашенные полоски с учётом этого условия?
А уж если и с этим сможете справиться, то добавьте ещё условие - стали подтекать ещё две банки:
из одной с периодом 17 секунд падает две капли - первая капля в первую секунду каждого периода, вторая - в седьмую секунду каждого периода. Из второй банки с периодом 19 секунд тоже падают две капли - первая капля в первую секунду каждого периода, вторая - в седьмую секунду каждого периода.
И вопрос: какой максимальной длины на дороге будут образовываться покрашенные полоски с учётом этого условия?
Совсем упоротые могут добавлять протекающие банки (надеюсь, принцип понятен).
Ну и последний вопрос: если количество дырявых банок в грузовике сколь угодно много, но конечно, то можно ли утверждать, что как бы долго ни ехал грузовик, на дороге всегда будут оставаться не закрашенные участки ?
Удачи ! Берегите мозги ! Математика - зло !
А я пошёл красить скамейки...
С грузовиками и красками слишком муторно вчитываться и разбираться в условии, оно слишком перегружено. Пусть p_1, p_2, ..., p_2k простые числа последовательные, начиная, с p_1 = 5. И множества вида n*p_1 + 1; n*p_1 + 3; n*p_2+1; n*p_2 + 3; n*p_3 + 1; n*p_3 + 5; ... n*p_2k+1 n*p_2k + (2k+1) и найти наибольшее число подряд идущих натуральных чисел в объединении
Входит или не входит число в объединении однозначно задается его остатком по модулю произведения всех простых p_1*p_2*...*p_2k. Так что достаточно посмотреть какие остатки по этому модулю попадают в пересечение и найти наибольшее число подряд идущих
Для k=1 Множества 5p+1; 5p+3; 7p+1; 7p+3. Смотрим по модулю 35: наибольшее число подряд идущих чисел = 4, это 15, 16, 17, 18
Для k=2 Множества 5p+1; 5p+3; 7p+1; 7p+3; 11p+1; 11p+5; 13p+1; 13p + 5. Смотрим по модулю 5005; наибольшее число подряд идущих чисел 10 с 465 по 474
Для k=3 Множества 5p+1; 5p+3; 7p+1; 7p+3; 11p+1; 11p+5; 13p+1; 13p + 5; 17p + 1; 17p + 7; 19p + 1; 19p+7. Смотрим по модулю 1616615, наибольшее число подряд идущих чисел 24 с 31123 по 31146
В случае произвольного k всегда будут числа, которые не попадут хотя бы в 1 из множеств: это числа вида n*p_1*p_2*...*p_2k + 2, так как все множества в нашем объединении не имеют чисел с остатком 2 ни по какому простому модулю из p_1, p_2, ... p_2k