Разница между Remember to do и Remember Doing⁠⁠

Когда есть выбор между to и ing, то to обычно указывает на цель / будущее, а ing – на настоящее или прошлое. В принципе, если не помнишь, какой из двух вариантов использовать, эта логика обычно тоже срабатывает.

Stop smoking! – Харэ курить!
Stop to smoke! – Остановиться покурить (цель).

Don't forget to kiss her – Не забудь поцеловать ее.
Don't forget kissing her – Не забывай, как ты целовал ее.

Это общее правило. Как всегда, есть исключения или нюансы, которые потянут на талмуд. Например, go shopping, go skiing, go fishing – вроде бы и цель, но можно трактовать и как «настоящее»: заниматься покупками / катанием на лыжах / рыбалкой. И т.д., и т.п. – понимание или привычка приходит с практикой.