Ответ TheSecondI в «Считаете арифметику скучной?»⁠⁠3

Вопрос вписывания прямоугольника в прямоугольник "впритык" (решение вопроса-поста)

Пусть a — ширина основного прямоугольника, b — длина основного прямоугольника, c — ширина вписываемого прямоугольника и d — длина вписываемого прямоугольника (неизвестно), α — угол наклона (неизвестно).

Вписываемый прямоугольник лежит на сторонах основного прямоугольника.

Частная задача (в посте-вопросе): максимум длины вписываемого прямоугольника (по размерам основного и ширине вписанного прямоугольника).

Общая задача: найти по имеющимся нескольким значениям другие значения.

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ

1. Как найти длину вписанного прямоугольника по формуле, при a=4; b=3; c=1 (в один клик):

https://www.wolframalpha.com/input?i={d^4-(a^2+b^2+2c^2)d^2+4(abc)d-(a^2+b^2-c^2)c^2=0;α=arctan((a*c-b*d)/(b*c-a*d))*180/π;a=4;b=3;c=1;a>=0;b>=0;c>=0;d>=0;90>=α>=0}

Ответ: d≈4.0851, α≈31.7501

Инструмент ищет угол наклона/любую сторону, если есть 3 из 5 показателей
(вставьте свои значения вместо a, b, c, d, α)!

2. Подробное описание решения (методом Крамера и матрицами):

https://math.stackexchange.com/questions/4249237/rotated-rec...

3. Решение, предложенное @vardader (#comment_364405448), кстати, верное (обратные знаки, на нахождение корней не влияет). При a=4; b=3; c=1:

https://www.wolframalpha.com/input?i={(a^2+b^2)*(c^2+d^2)-4abcd-(c^2-d^2)^2=0;α=arctan((a*c-b*d)/(b*c-a*d))*180/π;a=4;b=3;c=1}

Выходит четыре ответа, из них только одно действительное, а остальные отрицательные и комплексные: d≈4.0851, α≈31.7501

Справочно:

4. До угла в градусах

α = arctan((a*c-b*d)/(b*c-a*d))*180/π

дошли так.

1) Известно (система уравнений):
d*сos(α)+c*sin(α)=a
c*cos(α)+d*sin(α)=b

2) Перемножаем крест накрест:
b*(d*сos(α)+c*sin(α)) = a*(c*cos(α)+d*sin(α))

3) Раз мы знаем, что tg(α) = sin(α)/cos(α), то делим обе части уравнения на cos(α):
b*d+b*c*tg(α) = a*c+a*d*tg(α)

4) Переносим часть с тангенсом в одну сторону, выносим его за скобки, выражаем его отдельно:
b*c*tg(α) - a*d*tg(α) = a*c - b*d
tg(α) (b*c - a*d) = a*c - b*d
tg(α) = (a*c - b*d) / (b*c - a*d)

5) Из численного значения tg(α) получить
- радианы можно через арктангенс, или единица делить на тангенс: 1/tg(α)=arctan(α),
- градусы можно при домножении ещё на 180/π: arctan(α)*180/π

Таким образом, угол наклона в градусах:

α = arctan((a*c-b*d)/(b*c-a*d))*180/π

Справочно:

5. Ещё смежные вопросы рассматривались здесь
#comment_364391099

Теперь с помощью этого инструмента Wolfram Alplha, имея три стороны двух прямоугольников, можно находить четвёртую недостающую и угол наклона!

В том числе, имея a, b, c, можно находить длину d вписываемого прямоугольника, в чём и был вопрос.

Проблема решена