Математическая пицца v2
Раз уж подвесил интригу и 20 человек подписалось в ожидании результатов, ничего не оставалось, как сделать простенькую мат.модельку пиццы в экселе и поведать что же получилось, что оказалось гораздо сложнее, чем считать:). Но результаты получились довольно интересными.
Для ЛЛ небольшой спойлер - берите среднюю, в маленькой будете переплачивать за грамм начинки, которой и так меньше, в большой экономить опять же за счет меньшего количества начинки. Но это на любителя - если средняя слишком нажористая, смотрите в сторону большой, это экономически выгоднее. Если любите и бортики пожевать с соусом - берите маленькую, т.к. объем бортика с ростом размера изменяется меньше, чем все остальное, а баланс начинки/теста лучше, чем в большой.
Для тех, кому интересны детали, продолжим.
Итак, для начала определим более конкретно цель - оценить, как в одном "кусе" отличается баланс теста/начинки в реальных пиццах разных размеров.
Начнем раскладывать пиццу на запчасти:) Какие предпосылки и допущения использовались в расчетах:
1. Разделим пиццу на 3 составляющих - начинка как единая масса, равномерно покрывающая основу, основа без бортика, которая полностью покрывается начинкой, бортик как половинка тора (бублика) с меньшей, чем у основы плотностью, т.к. более "воздушный". Бортик в принципе играет меньшую роль, потому что не влияет на "кусь", который включает только основу и начинку, но в некотором смысле он тоже интересен.
2. Пицца штука не масштабируемая - как минимум один параметр составляющих не меняется. Поэтому допускаем, что для всех размеров пицц одинаковая толщина основы и одинаковые линейные размеры бортика.
Короче, представляем основу в таком виде (для всех пицц меняться будет только параметр 130, размеры бортика на "глазок", это в общем-то не критично для результата, толщина основы 3мм):
3. Для оценки взял три пиццы с одного известного сайта, который и швец, и жнец, и на дуде игрец. Три потому что на глаз определил что есть пиццы "простенькие", то есть в базе легкие (до 400г за 26см), "норм", потому что начинка там равномерно присутствует, средние по весу (около 450г за 26см), и "нажористые", в которые напихано все подряд (500г за 26см).
Проверять гипотезы будем на этих 3-х пиццах (тонкое тесто), вес в граммах с сайта
Для того, чтобы определить, какое соотношение начинки и теста в одном "кусе", то есть на 1 кв.см., сделаем еще пару допущений - зададим некоторое значение для плотности теста и коэффициенту "воздушности" бортика (можно было конечно солвером решить через набор фактических данных, но оно кому-то надо?:)). Через плотность посчитаем вес основы, разделим ее на площадь основы и получим вес теста на 1 кв.см. Зная вес всего теста, вычтем его из общего веса пиццы и получим вес начинки, который так же разделим на площадь нашей основы, получив вес начинки на 1 кв.см. Ну и напоследок посчитаем баланс как отношение веса начинки на 1 кв.см. к суммарному весу начинки и основы на 1 кв.см.
Нужно понимать, что это допущение по плотности теста сделает расчеты "сферическими" в какой-то степени, но однозначно даст возможность увидеть закономерность.
Поскольку в модели мне были видны сразу все расчеты при изменении плотности, я подобрал некоторые значения, при которых результаты хотя бы адекватны и не отрицательны. Получил плотность теста 1,05 г/см3, коэффициент "воздушности" 0,3 (тут проще - посчитал отношение объема загнутого листа 3мм с небольшим запасом, т.е. х2,5 ширины бортика*толщину основы к объему половины тора).
Теперь мы примерно знаем все развесовки, что же получается? Давайте глянем на графики изменения веса пицц в целом и изменения веса компонентов:
Видим, что вес пицц по мере увеличения размера растет почти линейно (да, я знаю что интервалы разные и "правильный" график будет выглядеть по-другому, не в этом суть, чтобы тратить время на "причесывание"). При этом на графике компонентов картина иная - вес теста как и положено растет пропорционально квадрату радиуса пиццы, кроме бортика, потому что его вес растет линейно. При сравнении 26см и 30см пиццы видно, что прирост веса происходит за счет начинки, а в случае 30см и 40см прирост веса идет за счет теста.
Допущение по плотности на примере графиков работает так, что изменяя плотность, кривые веса основы и бортика будут лишь подниматься/опускаться относительно кривых веса начинки, ну еще немного будут изменяться углы наклона кривых веса начинки, но закономерность будет точно такая же. Поэтому можно быть уверенным, что это допущение не влияет на относительный результат каким-то значимым образом.
Осталось последнее - получить плотность начинки на 1кв.см., разделив ее вес на площадь основы и посчитать как она изменяется при изменении размера
Сама плотность нам не сильно интересна, потому что в некоторой степени "синтетическая" и получается только при той плотности теста, которую я подогнал. Гораздо важнее %, которые отражают закономерность - максимальное количество начинки в одном "кусе" у средней пиццы, минимальное - у самой большой, самая маленькая где-то по середине.
Подведем итоги.
Баланс начинки и теста сохраняется от размера к размеру если вес пицц отличается примерно пропорционально квадрату диаметра пиццы (строго говоря не совсем так, но в первом приближении пойдет). Пицца 30см должна быть тяжелее 26см на 34% (в 1,34 раза), а пицца 40см должна быть тяжелее 30см на 79% (в 1,79 раза) или тяжелее 26см на 140% (в 2,4 раза). Если эти соотношения не выполняются, значит баланс нарушен - например, для пиццы1 из примера соотношения такие: 30см к 26см +46%, 40см к 30см +37%, а 40см к 26см +100%.
Справедливости ради стоит сказать, что не учтена потенциально разная раскатка основы, когда в маленькой пицце она чуть толще, а в большой тоньше, чем в средней, поэтому реальные отклонения от средней будут другими и можно считать, что маленькая=большой по балансу начинки и теста. Но чтобы большая приблизилась к средней, основа должна быть минимум в 2 раза тоньше, что вряд ли.
Причины этого в общем-то уже написали в комментариях исходного поста Математическая пицца:
1. Тех.карты составляют по линейным пропорциям (размер в два раза больше, значит и ингредиентов в два раза больше).
2. "Дискретные" компоненты (кусочки мяса, колбасы, ветчины, креветки и т.п.) идут в стандартных размерах для всех пицц и добавляются не пропорционально площади пиццы, например на пиццу 30см кладут 6 креветок, а на 40 см 8 креветок - при весе креветки например 10г, это +33%, тогда как вес теста растет на 78%.
Ну и кому интересен вопрос, можно ли математически посчитать идеальную пиццу - можно. Если сделать более сложную модель с количественными характеристиками "дискретных" ингредиентов, задать целевой баланс по всем ингредиентам в одном "кусе", а потом запустить поиск решения через солвер, то можно подобрать оптимальный размер, на котором все ингредиенты смогут разместиться максимально близко к идеальному балансу.