Задача про полоски с дырками
Приветствую всех любителей математики.
Предположим, что есть полоска бумаги, с расположенными в ряд клетками.
Пусть, для начала, количество клеток 12.
Берём вилку, у которой два зуба, с "дыркой" между зубьями h=1 (такой вилкой можно проколоть, например, клетки 1 и 3 или 4 и 6, т.е. между клеток с проколами окажется целая клетка) и проходимся с ней по полоске с клетками. При этом необходимо соблюдать условие - между дырками - соседними "ударами" вилки - должно быть две целых клетки (интервал равен 2)
Потом этой же вилкой проходимся второй раз по этой же полоске, но с интервалом 4.
При этом пытаемся расположить удары вилок так, чтобы было проколото наибольшее количество клеток, т.е. первый удар вилкой мы можем делать в любом месте, а последующие - с обозначенным интервалом вправо (и влево, если это необходимо).
Теперь возьмём новую полоску, на которой 20 клеток.
И пройдёмся по ней вилкой с первыми условиями. Но теперь добавим ещё одну вилку, у которой два зуба, с дыркой h=3 и пройдёмся по полоске так же два раза с интервалами 6 и 8 соответственно для каждого раза. Так же, как и прежде, пытаемся расположить удары всех вилок так, чтобы было проколото наибольшее количество клеток, т.е. первый удар вилкой при очередном проходе мы можем делать в любом месте, а последующие - с обозначенным интервалом вправо (и влево, если это необходимо).
По следующей полоске, на которой 28 клеток, проходятся уже три вилки (каждая по два раза) с "дырками" 1,3 и 5 с интервалами 2 и 4, 6 и 8, 10 и 12 (соответственно). Так же, стараемся проколоть наибольшее количество клеток.
Если для последующих полосок мы будем соблюдать те же условия:
- увеличиваем количество клеток на полоске на 8
- увеличиваем количество вилок на одну
- увеличиваем дырку на новой вилке на 2
- проходимся каждой вилкой два раза
- увеличиваем интервалы на 4 (от интервалов последней вилки)
То какие из утверждений будут верны:
1. невозможно проколоть все клетки на любой полоске
2. начиная с некоторой полоски все последующие могут быть проколоты полностью
3. при любом увеличении полоски, среди полностью проколотых, найдётся такая, которую невозможно проколоть полностью.
Ну что, будем пробовать нарезать и прокалывать полоски ?
Удачи в решении !