Подборка arXiv · 07.11.2026
Подборка arXiv · 07.11.2026
1. Четыре цвета могут потребовать пяти цепочек
Каждую пару точек соединяют линией одного из заданных цветов. Можно ли разбить все точки на одноцветные цепочки без общих точек, чтобы цепочек было не больше, чем цветов? Авторы строят раскраски четырьмя цветами, где нужно хотя бы пять цепочек. Такие примеры существуют при любом достаточно большом числе точек.
Четыре цвета оказываются точной границей нарушения этого правила. При меньшем числе цветов нужное разбиение всегда существует.
2. Куда попадёт четвёртая случайная точка
На сфере независимо и равномерно выбирают четыре точки. Преобразуем сферу с сохранением углов так, чтобы первые три точки попали в три заранее выбранных места. Где окажется четвёртая? Авторы выражают распределение её положения через интеграл, а затем вычисляют его и получают явную формулу.
Три разные точки можно привести к одному шаблону, а четвёртая уже различает конфигурации. Так у случайной формы появляется точное вероятностное описание.
3. Выбор без отмены мешает найти решение без близких соседей
Можно ли выбирать плюсы и минусы по одному, без знания будущих данных и права на отмену, чтобы выполнить условия на суммы со случайными коэффициентами? Число условий пропорционально числу знаков, коэффициенты независимы и имеют нормальное колоколообразное распределение. Авторы показывают, что у любого такого алгоритма шанс найти изолированный ответ с ростом задачи стремится к нулю. Он отличается от остальных решений заметной долей знаков. Последние знаки для него приходится угадывать без ошибок.
Это не запрет на поиск решений вообще. Результат поддерживает идею, что алгоритмам помогают редкие решения с близкими соседями.
Следить за своими темами, авторами и разделами можно в бесплатном arXiv-боте. Для доступа достаточно подписаться на канал «Математика не для всех».
#Математика #arXiv #Исследования