Если бы у нас в календаре было бы не 12, а 13 месяцев, то в каждом из них можно было сделать по 28 дней. Месяц начинался бы в понедельник, а заканчивался в воскресенье. И ещё оставался бы 1 день (в високосный год 2), который можно было бы назвать "Новогодним днём".
28 х 13 = 364 + 1 (2)
Вот это был бы календарь перфекциониста, а не это вот всё.... 🤣
Подборка arXiv · 09.11.2026
1. Кубики играют в камень, ножницы, бумагу
Могут ли укладки одинаковых кубиков побеждать друг друга по кругу? Авторы строят три периодически повторяющиеся укладки в четырёхмерной сетке точек. Для соперников независимо выбирают случайный сдвиг окна наблюдения и считают кубики, целиком попавшие внутрь. Большее число даёт победу. В построенном цикле каждая укладка побеждает следующую более чем в половине игр.
Даже одинаковый средний счёт не исключает круговых побед. Для сравнения важно, как часто встречаются разные результаты.
2. Как выбирать цены и знать предел возможной прибыли
Как выбрать прибыльные цены, если похожие товары конкурируют за покупателя, а цены ограничены правилами? Для заданного набора товаров авторы сводят трудные взаимодействия к уровню групп похожих товаров, не упрощая принятую модель спроса. Их метод выдаёт цены, соблюдающие ограничения, и указывает предел, который дальнейшая прибавка к прибыли в этой модели не превысит.
Даже досрочная остановка расчёта оставляет оценку качества найденных цен. Это помогает понять, стоит ли продолжать поиск.
3. Как размещение ферментов влияет на скорость реакции
Где разместить фиксированное количество ферментов, ускоряющих реакцию, чтобы её суммарная скорость была наибольшей? Авторы изучают модель, в которой реагирующее вещество распространяется по области, а его концентрация на границе задана. Согласно их анализу, к наибольшей скорости приближаются, всё сильнее сосредоточивая ферменты у участка границы с самой высокой концентрацией вещества. Это предельный процесс, а не готовое оптимальное размещение.
Результат подсказывает, зачем вводить в модель условия, которые сдерживают чрезмерное скопление ферментов.
Следить за своими темами, авторами и разделами можно в бесплатном arXiv-боте. Для доступа достаточно подписаться на канал «Математика не для всех».
#Математика #arXiv #Исследования
Половину пути ехали 30 км/ч. Как разогнаться, чтобы средняя скорость стала 60 км/ч?
Представьте маршрут длиной 20 км. Первые 10 км вы проехали со средней скоростью 30 км/ч. Как быстро нужно ехать оставшиеся 10 км? Первое, что приходит в голову, — 90 км/ч. Ведь (30 + 90) / 2 = 60.
А теперь посчитаем минуты.
Чтобы проехать 20 км со средней скоростью 60 км/ч, нужно уложиться в 20 минут. Но первые 10 км на скорости 30 км/ч уже заняли все 20 минут. На вторую половину осталось ровно ноль минут.
Даже если проехать оставшиеся 10 км со скоростью 120 км/ч, они займут ещё 5 минут. Получится 20 км за 25 минут, то есть в среднем 48 км/ч.
Почему не сработало обычное среднее? Скорости 30 и 90 км/ч дали бы среднюю 60 км/ч, если бы на каждой скорости ехали одинаковое время. А у нас одинаковые расстояния, и медленный участок занимает больше времени.
В таких задачах один удачный вопрос заменяет целую страницу вычислений. Здесь это «Сколько времени у нас вообще осталось?». Таким же способом мы разбираем задачи по математике, физике, электротехнике и сопромату в канале SolveX.
Часть 2 из 2
Три набора {a, b}, {a, c} и {b, c} образуют антицепь по включению. Они имеют одинаковый размер, поэтому один мог бы содержаться в другом лишь при совпадении. Как видно, антицепь не требует отсутствия общих элементов.
Можно ли найти антицепь побольше среди всех подмножеств {a, b, c}? Разобьём все восемь подмножеств на три цепи. Здесь ∅ означает пустое множество, а ⊂ обозначает строгое включение.
∅ ⊂ {a} ⊂ {a, b} ⊂ {a, b, c}
{b} ⊂ {b, c}
{c} ⊂ {a, c}
Антицепь может содержать не более одного элемента из каждой цепи, иначе два её элемента окажутся сравнимыми. Значит, её размер не превосходит трёх, и найденный пример достигает этой границы. Для конечного множества максимальный размер антицепи называют шириной порядка.
В планировании работ условие X ≤ Y означает, что X = Y или задача X должна завершиться до начала Y, прямо или через промежуточные зависимости. При отсутствии циклов это частичный порядок. Одновременно выполняемые задачи образуют антицепь, поэтому их число не превосходит ширины порядка. Но несравнимость ещё не гарантирует готовность к запуску. Сначала должны завершиться все предшественники, а для параллельной работы должно хватать ресурсов.
Антицепи возникают и при выборе по нескольким критериям. Пару (цена, время) считаем не хуже другой, если обе её координаты не больше соответствующих координат другой пары. Например, условные варианты (5, 10), (7, 6) и (9, 4) образуют антицепь. Уменьшение времени здесь требует большей цены. А вариант (8, 11) уступает (5, 10) по обоим показателям, и его можно исключить, если нас интересуют только цена и время.
Фронт Парето состоит из тех заданных пар, для которых нет другой пары с обеими координатами не больше и хотя бы одной строго меньше. Различные пары на этом фронте образуют антицепь. Если бы две из них были сравнимы, худшая не попала бы на фронт. В нашем примере после удаления (8, 11) остаются все три несравнимых варианта.
Сам порядок не подсказывает, какой из этих трёх вариантов предпочесть. Для обоснованного выбора потребуется дополнительное правило, например сначала уложиться в заданный срок, а затем минимизировать цену.
#Математика #Разбор #МатематическиеИдеи
Когда сказал преподу, что "на глаз вроде нормально", и получил вот это
Подборка arXiv · 08.11.2026
1. Почему задним ходом бывает проще припарковаться
Почему парковка задним ходом может быть проще, если машина умеет повторять путь в обратную сторону? Авторы сравнивают въезд передом и задом, считая смены направления движения. Для одной заданной сцены они заявляют, что при неограниченных поправках оба способа позволяют сохранить одинаковый зазор до препятствий. Но при некоторых требованиях к зазору въезд задом требует меньше смен направления. Вывод зависит от начального положения.
Разница здесь не в том, помещается ли машина, а в сложности манёвра. Один и тот же запас места может требовать разного числа поправок.
2. Как разорвать все замкнутые маршруты в дорожной сети
Сколько односторонних дорог нужно перекрыть, чтобы исчезли все замкнутые маршруты? Авторы сравнивают это число с наибольшим числом таких маршрутов без общих дорог. Для сетей, где на каждом перекрёстке входящих дорог столько же, сколько исходящих, они заявляют улучшенную верхнюю границу. Она растёт не быстрее фиксированной степени числа маршрутов без общих дорог, что гораздо умереннее прежней оценки для произвольных сетей.
Баланс входящих и исходящих дорог на каждом перекрёстке даёт более сильную гарантию для всей сети. Местное условие меняет общую оценку.
3. Кому стоит уступать, чтобы группа меньше ошибалась
Кому в группе стоит чаще уступать чужому мнению? Авторы сначала ищут, какой вклад исходных оценок участников уменьшит систематическую ошибку общего ответа, то есть его устойчивое отклонение от истины. Затем подбирают готовность каждого менять мнение, чтобы получить эти вклады. В своей математической модели они заявляют нахождение наилучшей настройки по этому критерию, если нужные вклады достижимы при заданных связях общения.
Можно отделить вопрос о том, чьё влияние полезнее для общего ответа, от вопроса о том, удастся ли распределить влияние через связи внутри группы.
Следить за своими темами, авторами и разделами можно в бесплатном arXiv-боте. Для доступа достаточно подписаться на канал «Математика не для всех».
#Математика #arXiv #Исследования
Подборка arXiv · 07.11.2026
1. Четыре цвета могут потребовать пяти цепочек
Каждую пару точек соединяют линией одного из заданных цветов. Можно ли разбить все точки на одноцветные цепочки без общих точек, чтобы цепочек было не больше, чем цветов? Авторы строят раскраски четырьмя цветами, где нужно хотя бы пять цепочек. Такие примеры существуют при любом достаточно большом числе точек.
Четыре цвета оказываются точной границей нарушения этого правила. При меньшем числе цветов нужное разбиение всегда существует.
2. Куда попадёт четвёртая случайная точка
На сфере независимо и равномерно выбирают четыре точки. Преобразуем сферу с сохранением углов так, чтобы первые три точки попали в три заранее выбранных места. Где окажется четвёртая? Авторы выражают распределение её положения через интеграл, а затем вычисляют его и получают явную формулу.
Три разные точки можно привести к одному шаблону, а четвёртая уже различает конфигурации. Так у случайной формы появляется точное вероятностное описание.
3. Выбор без отмены мешает найти решение без близких соседей
Можно ли выбирать плюсы и минусы по одному, без знания будущих данных и права на отмену, чтобы выполнить условия на суммы со случайными коэффициентами? Число условий пропорционально числу знаков, коэффициенты независимы и имеют нормальное колоколообразное распределение. Авторы показывают, что у любого такого алгоритма шанс найти изолированный ответ с ростом задачи стремится к нулю. Он отличается от остальных решений заметной долей знаков. Последние знаки для него приходится угадывать без ошибок.
Это не запрет на поиск решений вообще. Результат поддерживает идею, что алгоритмам помогают редкие решения с близкими соседями.
Следить за своими темами, авторами и разделами можно в бесплатном arXiv-боте. Для доступа достаточно подписаться на канал «Математика не для всех».
#Математика #arXiv #Исследования
Часть 2 из 2
Среди опрошенных студентов Университета Толидо правильный ответ дали 17%, а среди студентов Массачусетского технологического института 66%. Низким баллам CRT соответствовал самый сильный эффект отражения, а у участников с высокими баллами он не наблюдался. Участники с низкими баллами также сильнее предпочитали небольшие немедленные награды крупным отложенным. Канеман и Фредерик выдвигают гипотезу, что результаты CRT должны коррелировать и с индексом рациональности, и с характером мозговой активности в эксперименте Де Мартино. Это предложенная связь, а не полученный в том эксперименте результат.
При этом рациональность не обязательно начинается с исправления ошибки. В двухсистемной модели, которой пользуются авторы, различают две группы умственных операций. Система 1 действует автоматически и без усилий, причём создаваемые ею представления могут быть точными. Точность может опираться на врождённые возможности, как при узнавании лица с разных ракурсов, или на опыт, как при распознавании уязвимой шахматной позиции. В принятии решений рациональность Системы 1 означает способность сразу выделить существенные условия и проигнорировать поверхностную рамку.
Система 2 действует намеренно, требует умственных усилий и чувствительна к вмешательству параллельных задач. Рациональность этого типа требует одновременно готовности проверять первые впечатления и способности правильно рассуждать. Но авторы допускают, что у некоторых людей с высокоразвитыми математическими навыками верный ответ на задачу о бите и мяче может возникать сразу, без повторного обдумывания. Такой случай они относят к рациональности Системы 1.
Таким образом, в этой модели устойчивый выбор может опираться и на проверку первоначальной реакции, и на её первоначальную точность. Поведенческие задачи помогают исследовать эти возможности, а нейровизуализация связывает решения с активностью мозга. Для объяснения восприимчивости к фреймингу и сопротивления ему авторы считают необходимыми дополнительные данные обоих типов.
#Математика #ТеорияГрафов #ТеорияВероятностей #МатематическоеМоделирование
