В конце 1820-х годов в Йельском университете происходили интересные события. В 1825 году в университете впервые начали использовать классные доски и мел. Это означало, что вместо учебников в качестве справочных материалов студенты должны были выходить к доске и воспроизводить знания с "чистого листа", рисуя свои собственные рисунки, графики и диаграммы.
Студенты второго курса Йельского университета по математике были недовольны. Они не высказывались против решения таким образом некоторых простых задач, но потеряли терпение при изучении конических сечений. Они объявили забастовку и просто отказались это делать.
Тридцать восемь студентов из восьмидесяти семи были отстранены от занятий; преподаватели связались с родителями студентов, и на студентов оказали давление, заставив подписать заявление :
"Мы, нижеподписавшиеся, будучи втянуты в противостояние руководству Йельского колледжа, признаем нашу вину в этом и обещаем, что после восстановления нашего положения в классе, будем добросовестно подчиняться законам (Йельского колледжа)".
Инцидент был известен как Восстание конических сечений 1825 года. Однако на этом дело не закончилось. Студенты продолжали тихо бунтовать.
В 1830 году произошло еще одно изменение: нововведение с классной доской распространилось и на экзамены.
Несколько студентов устроили бунт, в ходе которого они вообще отказались сдавать сессию. Второе восстание конических сечений закончилось еще большим конфликтом: сорок три из девяноста шести студентов были исключены и внесены Йельским университетом в черный список.
После выхода фильма "Оппенгеймер" в интернете особенно завирусился фрагмент из одного из выступлений физика, в котором он прошелся по современному ему состоянию математики:
"Сегодня не только наши короли не знают математики, но и наши философы не знают математики, и — если пойти еще дальше — наши математики не знают математики"
Как это обычно бывает, фраза вырвана из контекста. Давайте разберемся.
В апреле 1958 года Роберт Оппенгеймер выступил с докладом в Международном институте прессы в Вашингтоне, Округ Колумбия; шесть месяцев спустя полный текст выступления был опубликован в статье в журнале Harper's Magazine “Древо познания”. В этой статье Оппенгеймер рассказал о природе научного знания и о том, как оно менялось на протяжении веков:
Существуют огромные различия между нашим миром обучения сегодня — нашим Древом познания — и миром Афин, или Просвещения, или зари науки в Европе пятнадцатого и шестнадцатого веков [Оппенгеймер 1958, стр. 55].
Оппенгеймер обсуждал растущее число ученых и распространение научных знаний, взаимосвязи и различия между “чистой” и “практической” наукой, а также последствия научного прогресса. В заключение своей речи он заявил, что продолжающийся рост науки неизбежно создаст трудности в достижении цели ядерного разоружения.
Только во вступлении к речи Оппенгеймер говорил конкретно о математике. Чтобы показать, как сильно изменились знания за столетия, Оппенгеймер привел пример из Древней Греции.:
Вы можете получить некоторое представление о том, насколько сокрушительными были эти изменения, если вспомните, что Платон, когда он пытался думать о спасении человека и управлении им, рекомендовал математику как один из способов научиться познавать истину, отличать добро от зла и мудрых от глупых. Платон не был творческим математиком, но студенты подтверждают, что он знал математику своего времени, понимал ее и многое из нее извлек [Оппенгеймер 1958, стр. 55].
Именно на этом этапе появляется обсуждаемая нами цитата. Вырванная из контекста цитата может означать, что современные математики не знают никакой математики; однако Оппенгеймер лишь утверждал, что, в отличие от времен Платона, ни один человек больше не мог постичь всю математику:
Сегодня не только наши короли не знают математики, но и наши философы не знают математики, и — если пойти еще дальше — наши математики не знают математики. Каждый из них знает свою область предмета, и они слушают друг друга с братским и искренним уважением; и тут и там вы обнаруживаете переплетение различных областей математической специализации [Оппенгеймер 1958, стр. 55].
В то время как в “Государстве” Платона, возможно, утверждалось, что идеальный правитель должен быть хорошо разбирающимся в математике, Оппенгеймер завершил введение к своей речи заявлением, что, хотя дальнейшее изучение математики, несомненно, идет хорошо и процветает, "сегодня маловероятно, что наши самые образованные советники — люди, которые пишут в прессе и говорят нам, что мы можем думать, — предположили бы, что следующий президент Соединенных Штатов сможет понимать математику того времени".
В разгар Второй мировой войны, когда нацисты взяли под контроль Копенгаген, своеобразная ситуация сложилась в Институте теоретической физики, возглавляемом физиком Нильсом Бором. Два нобелевских лауреата Макс фон Лауэ (изучал дифракцию рентгеновских лучей на кристаллах) и Джеймс Франк (исследовал взаимодействие электронов с атомами), опасаясь конфискации нацистами их золотых нобелевских медалей, отправили свои медали на хранение Бору.
В день прибытия нацистов в Копенгаген венгерский химик Дьёрдь де Хевеши, работавший в лаборатории Бора, разработал план предотвращения обнаружения медалей. Первоначально ученые думали закопать медали, но они быстро отказались от этой идеи, опасаясь тщательных обысков, которые проведут нацисты.
Вместо этого Хевеши предложил химическое решение. Используя смесь, известную как "царская водка" (смесь соляной и азотной кислот), он приступил к растворению золотых медалей. Эта смесь является одним из немногих веществ, способных растворять золото.
Хевеши растворил драгоценные медали, превратив их в бесцветный раствор, который в конечном итоге стал ярко-оранжевым. Жидкость, содержащая растворенное золото, была затем помещена на высокую полку в лаборатории, где она оставалась незамеченной на протяжении всей нацистской оккупации.
После Второй мировой войны, вернувшись в лабораторию, Хевеши обнаружил мензурку на полке нетронутой. Золото было восстановлено из раствора и возвращено комитету по присуждению Нобелевской премии, который вручил их обратно Лауэ и Франку на церемонии в 1952 году.
Американские граждане испытывают особый пиитет к лотереям, нашедший отражение в массовой культуре. Только государственных "лохотронов" насчитывается 45 штук, а самые крупные из них - PowerBall и Megamillions - позволяют счастливчику сорвать джекпот, иногда превышающий 1,5 млрд долларов. Люди с нетерпением ждут очередных розыгрышей, формируя многомиллионные рейтинги телеканалам, транслирующим мероприятия в прямом эфире.
Однако в 1969 году всё приняло не стандартный оборот: в прямом эфире по указу президента Ричарда Никсона была проведена лотерея, в которой победители получали не денежный чек, а возможный билет во Вьетнам.
26 ноября 1969 года Никсон подписал исполнительный указ № 11497 "О внесении изменений в порядок отбора на военную службу", предусматривающий процедуру случайной мобилизации мужского населения США, а первый розыгрыш "кровавой лотереи" прошёл уже через несколько дней - 1 декабря.
Предыстория
К 1963 году армейская столкнулась с необычной проблемой: число мужчин, подлежащих призыву, превышало потребности вооруженных сил в ежегодном наборе: причиной всему был послевоенный беби-бум. Лотерея была одним из возможных решений, но Л.Б. Херши решительно воспротивился этой идее.
Льюис Блейн Херши руководил системой отбора на военную службу
По его мнению, разница между существующей системой индивидуальных отсрочек и лотереей заключалась
"...в сущности, в разнице между человеком и машиной. У людей в местных советах больше сострадания, чем у машины... [которая] не может сказать, является ли человек более ценным как отец, студент, ученый, врач или как солдат"
Херши убедил президента Кеннеди отнести всех женатых мужчин к особой низкоприоритетной категории, и проблема была решена. К 1966 году число отсрочек по жизненным обстоятельствам, отцовству и вступлению в брак превысило число отсрочек по учебе почти в два раза к одному.
Однако, активизация войны во Вьетнаме почти сразу же увеличила призыв с менее чем десяти до более чем тридцати тысяч в месяц. Рост потребностей был настолько стремительным, что государство вскоре столкнулось уже с нехваткой потенциальных новобранцев.
Систему пришлось ужесточить: вторую отсрочку по отцовству не предоставляли тем, кто получал её во время студенчества, а студентов колледжей с низким баллом сгоняли на тестирование по математике (предмет выбрал сам Херши). Больше 750 тысяч молодых людей сдавали этот тест в 1966-1967 году, и многие из тех, кто набрал меньше всего баллов, потеряли льготу и получили внеочередной шанс оказаться во вьетнамских джунглях.
Возникающие протесты против мобилизации карались достаточно сурово. Описывают случай, когда "по личному указанию Херши были показательно лишены отсрочки 35 студентов, проводивших сидячую забастовку у здания призывной комиссии в Анн-Арборе (Мичиган)".
Американские суды, в свою очередь, предоставляли право некоторым преступникам выбирать между армией и тюрьмой. К моменту, когда эта практика была отменена, на военной службе находилось несколько тысяч осужденных, в т.ч. за антивоенные выступления. Некоторые из них потом сформировали ядро сопротивления.
Тем не менее, шансов получить отсрочку было предостаточно. Например, мужчина мог претендовать на отсрочку, пригласив безработного или иждивенца пожить в его доме. Интересно, что строгих ограничений на доход лица, желающего получить льготу, не было.
Джордж Стивен Гамильтон в 1990 сыграл адвоката семьи Корлеоне в Крестном отце. В 60-е смог избежать призыва, потому что в принадлежащем ему голливудском особняке проживала мать, которая жила на средства сына - около 200 000 долларов в год
Резко повысилось число браков, в т.ч. фиктивных. Руководитель призывной комиссии штата Джорджия полковник Гарри Смит вспоминал, что "в одну из недель поженились сразу 46 мужчин, которым было приказано срочно явиться на на призывную комиссию".
В 1968 году призывные комиссии Нью-Йорка подтвердили отсрочку для учителей, работающих целый день. Это привело к тому, что уже в 1969 году 85 % процентов учителей были мужчинами призывного возраста, а популярность педагогических вузов возросла в 8 раз!
Но даже не получив отсрочку, у призывников был еще один шанс - медицинская комиссия. Манипуляции уклонистов были крайне разнообразны и, порой, жестоки. Молодые люди не только истыкивали предплечья булавками, имитируя уколы, но и специально вводили себе героин, готовясь к призывной комиссии. Спортсмены с травмами суставов умышленно усугубляли свои проблемы. Из самого показательного можно выделить:
употребление трех пицц каждый вечер в течение 6 месяцев, чтобы получить крайнюю степень ожирения;
поглощение 60 яиц перед призывной комиссией, в результате чего анализы крови показали превышение уровня альбумина;
отрезание фаланг пальцев;
выстрел в ногу из дробовика;
потребление собственной крови перед осмотром, что вызывало рвоту, в идеале, в кабинете врача;
имитация гомосексуализма;
мочеиспускание на стол приемной комиссии;
умышленное ослепление, искривление зубов и т.д.
В преподавательской среде находились люди, которые искусственно завышали оценки молодым людям, "только, если они не полные идиоты".
Работодатели могли лоббировать отсрочку для своих подчиненных, назначив их на руководящие должности или обосновав их незаменимость. Правительственная комиссия в конце 1960-х установила, что около половины всех мужчин, добившихся отстрочки по трудоустройству, получили её незаконно.
Консультирование по вопросам службы в армии получило невиданный размах. Показатели успеха были ошеломительными: около 90% процентов потенциальных призывников получали льготы. Стоимость была очень разумной - от 200 до 1000 долларов, но за счёт поистине глобального масштаба в этом бизнесе крутились гигантские деньги. Например, на пике войны ближе к концу 60-х юристы обслуживали более миллиона клиентов в год!
Цели призыва, не смотря на шероховатости, достигались. В период с 1965 по 1967 год численность военнослужащих во Вьетнаме увеличилась со 190 до 500 тысяч человек. В то же время в обществе было развернуто масштабное антивоенное сопротивление, спровоцированное в т.ч. самой процедурой призыва, оставляющей множество лазеек.
Американская лотерея (draft)
1 декабря 1969 года в Вашингтоне был проведен розыгрыш лотереи, определивший порядок призыва в течение 1970 календарного года для лиц, родившихся в период с 1 января 1944 года по 31 декабря 1950 года.
Одной из целей лотереи было устранить неравенство в призыве, ведь раньше действовало правило, согласно которому первыми призывались более возрастные мужчины (26 лет)
По картинке уже становится ясно, что достать капсулу снизу было бы затруднительно, поскольку рука мужчины находится в контейнере почти по подмышку, а ладонь еле касается верха стопки капсул
В большом стеклянном контейнере было 366 синих пластиковых капсул с датами рождения, на которых от руки были нанесены номера очередности вызова для всех 850 000 мужчин в возрасте от 19 до 26 лет.
Секретарь Бейкер (на фото выше) скажет: "Это представляет собой первое применение принципа, который, по мнению многих из нас, позволит полностью демократично, равноправно и справедливо отбирать солдат для защиты национальной чести за рубежом и дома.
В прямом эфире радио и телевидения капсулы были извлечены из контейнера. Первая капсула содержала число 258, что соответствовало дате 14 сентября, поэтому всем мужчинам, родившимся 14 сентября между 1944 и 1950 годами, был присвоен номер 1. Розыгрыш продолжался до тех пор, пока все дни года не были сопоставлены с порядковыми номерами.
Результаты первой лотереи
Министерство обороны определило официальный потолок лотерейного номера на будущий 1970 год - 195. Это означало, что мужчины, имеющие порядковые номера меньше, могли быть призваны на службу в порядке, соответствующим их номерам.
195 - это официальный потолок. В различных штатах он мог корректироваться вниз, исходя из мобилизационного потенциала региона и фактического набора.
Среди мужчин, родившихся в один день, так же устанавливалась очередность в зависимости от первых букв инициалов:
Эта таблица была определена уже в следующей лотерее летом 1970
Например, первым под призыв попадали лица, имеющие инициалы "JJJ", а за ним следовали бы "JGJ", "JDJ" и "JXJ"; любой человек с инициалами "VVV" был бы последним.
С точки зрения теории вероятностей организация лотереи не учитывала главного: распределение лотерейных номеров по месяцам года не было равномерным:
Диаграмма рассеяния лотерейных номеров
Еще больше подогрел ситуацию тот факт, что несправедливость распределения была обусловлена тем, как капсулы перемешивали.
Капсулы добавляли в большую коробку, отодвигали перегородкой в одну сторону, засыпали капсулы следующего месяца и затем перемешивали. Таким образом, январские капсулы были перемешаны 11 раз, а декабрьские всего 1 раз !
Закончив процедуры, ответственный сотрудник (капитан Пэскоу) встряхнул коробку, незадолго до розыгрыша прошелся по трём лестничным пролётам, а затем на виду у публики высыпал содержимое в стеклянный контейнер. При чем сам Пэскоу не помнил, с какого края коробки он высыпал капсулы. Очевидно, это могло повлиять на результаты лотереи.
Это привело к ожидаемому перекосу: только пять дней в декабре 2,12,15,17 и 19 имели порядковые номера, меньшие 195. Таким образом, для мужчин, рожденных в этом месяце, шанс призыва был значительно больше, чем у остальных. Впрочем, лотерея всё равно оправдалась: к концу 1970 году на службу было призвано 162 746 человек при квоте в 163 500.
Пример документа - приглашения на осмотр для призывника
Но в обществе царило беспокойство. Несколько молодых людей подали иск в федеральный суд, добиваясь аннулирования розыгрыша 1970 года и проведения новой лотереи. Причиной этих исков было отсутствие надлежащей рандомизации: корреляция между днем рождения (1-366) и номером призыва составляла 0.28.
Журнала Time в выпуске от 12 декабря 1969 года только разжигал пламя:
Те, чьи даты рождения были разыграны в первой трети, практически наверняка будут вызваны. Те, кто попал в середину, имеют шансы пятьдесят на пятьдесят. Остальные могут спокойно оставаться дома.
Поэтому в 1970 году уже новый глава призывной системы Кёртис Тарр изменил алгоритм формирования лотерейных номеров. Чтобы разработать лотерею, которая в 1971 году гарантировала бы более справедливый выбор, пришлось задействовать научный потенциал.
Ученые из Национального бюро стандартов с помощью ЭВМ подготовили 78 случайных перестановок чисел от 1 до 366. Из 78 перестановок 25 были выбраны случайным образом и по порядку сопоставлены дням года № 1 = 1 января, № 2 = 2 января, ... № 365 = 31 декабря. Кроме того, в еще в 25 конвертах запечатали случайные перестановки без соотнесения с календарём. 2 июня 1970 года в барабаны поместили по одному конверту из этих двух групп.
1 июля, в день розыгрыша, один барабан вращался в течение часа, а другой - в течение получаса (его вращательный механизм вышел из строя). В первом "розыгрыше" из одного барабана вытащили капсулу с 16 сентября, а из другого - 139, что и определило номер призыва.
В 1971 году распределение уже было более справедливым
Розыгрыш лотереи по новым правилам и уже без сбоев проводился с 1971 по 1975 год (для мужчин 1952-1956 годов рождения). В 1975 году Вьетнамская война закончилась для американцев с падением Сайгона, а американская кровавая лотерея с тех пор больше ни разу не проводилась. Навсегда, ли?
Класс — термин, употребляемый в теории множеств для обозначения произвольных совокупностей множеств, обладающих каким-либо определённым свойством или признаком.
Более строгое определение класса зависит от выбора исходной системы аксиом. В системе аксиом Цермело — Френкеля определение класса является неформальным, тогда как другие системы, например, система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя, аксиоматизируют определение «собственного класса» как некоторого семейства, которое не может быть элементом других семейств.
