MathNotForYou

MathNotForYou

Автор блога "Математика не для всех"
На Пикабу
26К рейтинг 136 подписчиков 10 подписок 202 поста 39 в горячем
Награды:
10 лет на Пикабу
2

Половину пути ехали 30 км/ч⁠⁠

Половину пути ехали 30 км/ч. Как разогнаться, чтобы средняя скорость стала 60 км/ч?

Представьте маршрут длиной 20 км. Первые 10 км вы проехали со средней скоростью 30 км/ч. Как быстро нужно ехать оставшиеся 10 км? Первое, что приходит в голову, — 90 км/ч. Ведь (30 + 90) / 2 = 60.

А теперь посчитаем минуты.

Чтобы проехать 20 км со средней скоростью 60 км/ч, нужно уложиться в 20 минут. Но первые 10 км на скорости 30 км/ч уже заняли все 20 минут. На вторую половину осталось ровно ноль минут.

Даже если проехать оставшиеся 10 км со скоростью 120 км/ч, они займут ещё 5 минут. Получится 20 км за 25 минут, то есть в среднем 48 км/ч.

Почему не сработало обычное среднее? Скорости 30 и 90 км/ч дали бы среднюю 60 км/ч, если бы на каждой скорости ехали одинаковое время. А у нас одинаковые расстояния, и медленный участок занимает больше времени.

В таких задачах один удачный вопрос заменяет целую страницу вычислений. Здесь это «Сколько времени у нас вообще осталось?». Таким же способом мы разбираем задачи по математике, физике, электротехнике и сопромату в канале SolveX.

1

Часть 2 из 2⁠⁠

Часть 2 из 2

Три набора {a, b}, {a, c} и {b, c} образуют антицепь по включению. Они имеют одинаковый размер, поэтому один мог бы содержаться в другом лишь при совпадении. Как видно, антицепь не требует отсутствия общих элементов.

Можно ли найти антицепь побольше среди всех подмножеств {a, b, c}? Разобьём все восемь подмножеств на три цепи. Здесь ∅ означает пустое множество, а ⊂ обозначает строгое включение.

∅ ⊂ {a} ⊂ {a, b} ⊂ {a, b, c}
{b} ⊂ {b, c}
{c} ⊂ {a, c}

Антицепь может содержать не более одного элемента из каждой цепи, иначе два её элемента окажутся сравнимыми. Значит, её размер не превосходит трёх, и найденный пример достигает этой границы. Для конечного множества максимальный размер антицепи называют шириной порядка.

В планировании работ условие X ≤ Y означает, что X = Y или задача X должна завершиться до начала Y, прямо или через промежуточные зависимости. При отсутствии циклов это частичный порядок. Одновременно выполняемые задачи образуют антицепь, поэтому их число не превосходит ширины порядка. Но несравнимость ещё не гарантирует готовность к запуску. Сначала должны завершиться все предшественники, а для параллельной работы должно хватать ресурсов.

Антицепи возникают и при выборе по нескольким критериям. Пару (цена, время) считаем не хуже другой, если обе её координаты не больше соответствующих координат другой пары. Например, условные варианты (5, 10), (7, 6) и (9, 4) образуют антицепь. Уменьшение времени здесь требует большей цены. А вариант (8, 11) уступает (5, 10) по обоим показателям, и его можно исключить, если нас интересуют только цена и время.

Фронт Парето состоит из тех заданных пар, для которых нет другой пары с обеими координатами не больше и хотя бы одной строго меньше. Различные пары на этом фронте образуют антицепь. Если бы две из них были сравнимы, худшая не попала бы на фронт. В нашем примере после удаления (8, 11) остаются все три несравнимых варианта.

Сам порядок не подсказывает, какой из этих трёх вариантов предпочесть. Для обоснованного выбора потребуется дополнительное правило, например сначала уложиться в заданный срок, а затем минимизировать цену.

Читайте «Математика не для всех» в MAX, Дзене и ВКонтакте.

#Математика #Разбор #МатематическиеИдеи

Показать полностью
0

Подборка arXiv · 08.11.2026⁠⁠

Подборка arXiv · 08.11.2026

1. Почему задним ходом бывает проще припарковаться
Почему парковка задним ходом может быть проще, если машина умеет повторять путь в обратную сторону? Авторы сравнивают въезд передом и задом, считая смены направления движения. Для одной заданной сцены они заявляют, что при неограниченных поправках оба способа позволяют сохранить одинаковый зазор до препятствий. Но при некоторых требованиях к зазору въезд задом требует меньше смен направления. Вывод зависит от начального положения.

Разница здесь не в том, помещается ли машина, а в сложности манёвра. Один и тот же запас места может требовать разного числа поправок.

2. Как разорвать все замкнутые маршруты в дорожной сети
Сколько односторонних дорог нужно перекрыть, чтобы исчезли все замкнутые маршруты? Авторы сравнивают это число с наибольшим числом таких маршрутов без общих дорог. Для сетей, где на каждом перекрёстке входящих дорог столько же, сколько исходящих, они заявляют улучшенную верхнюю границу. Она растёт не быстрее фиксированной степени числа маршрутов без общих дорог, что гораздо умереннее прежней оценки для произвольных сетей.

Баланс входящих и исходящих дорог на каждом перекрёстке даёт более сильную гарантию для всей сети. Местное условие меняет общую оценку.

3. Кому стоит уступать, чтобы группа меньше ошибалась
Кому в группе стоит чаще уступать чужому мнению? Авторы сначала ищут, какой вклад исходных оценок участников уменьшит систематическую ошибку общего ответа, то есть его устойчивое отклонение от истины. Затем подбирают готовность каждого менять мнение, чтобы получить эти вклады. В своей математической модели они заявляют нахождение наилучшей настройки по этому критерию, если нужные вклады достижимы при заданных связях общения.

Можно отделить вопрос о том, чьё влияние полезнее для общего ответа, от вопроса о том, удастся ли распределить влияние через связи внутри группы.

Следить за своими темами, авторами и разделами можно в бесплатном arXiv-боте. Для доступа достаточно подписаться на канал «Математика не для всех».

Читайте «Математика не для всех» в MAX, Дзене и ВКонтакте.

#Математика #arXiv #Исследования

Показать полностью
2

Подборка arXiv · 07.11.2026⁠⁠

Подборка arXiv · 07.11.2026

1. Четыре цвета могут потребовать пяти цепочек
Каждую пару точек соединяют линией одного из заданных цветов. Можно ли разбить все точки на одноцветные цепочки без общих точек, чтобы цепочек было не больше, чем цветов? Авторы строят раскраски четырьмя цветами, где нужно хотя бы пять цепочек. Такие примеры существуют при любом достаточно большом числе точек.

Четыре цвета оказываются точной границей нарушения этого правила. При меньшем числе цветов нужное разбиение всегда существует.

2. Куда попадёт четвёртая случайная точка
На сфере независимо и равномерно выбирают четыре точки. Преобразуем сферу с сохранением углов так, чтобы первые три точки попали в три заранее выбранных места. Где окажется четвёртая? Авторы выражают распределение её положения через интеграл, а затем вычисляют его и получают явную формулу.

Три разные точки можно привести к одному шаблону, а четвёртая уже различает конфигурации. Так у случайной формы появляется точное вероятностное описание.

3. Выбор без отмены мешает найти решение без близких соседей
Можно ли выбирать плюсы и минусы по одному, без знания будущих данных и права на отмену, чтобы выполнить условия на суммы со случайными коэффициентами? Число условий пропорционально числу знаков, коэффициенты независимы и имеют нормальное колоколообразное распределение. Авторы показывают, что у любого такого алгоритма шанс найти изолированный ответ с ростом задачи стремится к нулю. Он отличается от остальных решений заметной долей знаков. Последние знаки для него приходится угадывать без ошибок.

Это не запрет на поиск решений вообще. Результат поддерживает идею, что алгоритмам помогают редкие решения с близкими соседями.

Следить за своими темами, авторами и разделами можно в бесплатном arXiv-боте. Для доступа достаточно подписаться на канал «Математика не для всех».

Читайте «Математика не для всех» в MAX, Дзене и ВКонтакте.

#Математика #arXiv #Исследования

Показать полностью
2

Часть 2 из 2⁠⁠

Часть 2 из 2

Среди опрошенных студентов Университета Толидо правильный ответ дали 17%, а среди студентов Массачусетского технологического института 66%. Низким баллам CRT соответствовал самый сильный эффект отражения, а у участников с высокими баллами он не наблюдался. Участники с низкими баллами также сильнее предпочитали небольшие немедленные награды крупным отложенным. Канеман и Фредерик выдвигают гипотезу, что результаты CRT должны коррелировать и с индексом рациональности, и с характером мозговой активности в эксперименте Де Мартино. Это предложенная связь, а не полученный в том эксперименте результат.

При этом рациональность не обязательно начинается с исправления ошибки. В двухсистемной модели, которой пользуются авторы, различают две группы умственных операций. Система 1 действует автоматически и без усилий, причём создаваемые ею представления могут быть точными. Точность может опираться на врождённые возможности, как при узнавании лица с разных ракурсов, или на опыт, как при распознавании уязвимой шахматной позиции. В принятии решений рациональность Системы 1 означает способность сразу выделить существенные условия и проигнорировать поверхностную рамку.

Система 2 действует намеренно, требует умственных усилий и чувствительна к вмешательству параллельных задач. Рациональность этого типа требует одновременно готовности проверять первые впечатления и способности правильно рассуждать. Но авторы допускают, что у некоторых людей с высокоразвитыми математическими навыками верный ответ на задачу о бите и мяче может возникать сразу, без повторного обдумывания. Такой случай они относят к рациональности Системы 1.

Таким образом, в этой модели устойчивый выбор может опираться и на проверку первоначальной реакции, и на её первоначальную точность. Поведенческие задачи помогают исследовать эти возможности, а нейровизуализация связывает решения с активностью мозга. Для объяснения восприимчивости к фреймингу и сопротивления ему авторы считают необходимыми дополнительные данные обоих типов.

Читайте «Математика не для всех» в MAX, Дзене и ВКонтакте.

#Математика #ТеорияГрафов #ТеорияВероятностей #МатематическоеМоделирование

Показать полностью
2

Часть 1 из 2⁠⁠

Часть 1 из 2

Денежный выбор и два пути к рациональности

Если из 50 долларов оставить 20, итог будет тем же, что при потере 30. Однако при выборе между гарантированной суммой и лотереей эти описания могут вести к разным решениям. Такое влияние рамки описания называют фреймингом. В теоретическом комментарии Даниэль Канеман и Шейн Фредерик разбирают эксперимент Де Мартино и коллег и обсуждают, что помогает сопротивляться этому влиянию.

В эксперименте 20 участников выбирали между гарантированным исходом и лотереей, пока у них регистрировали активность мозга с помощью функциональной магнитно-резонансной томографии, фМРТ. Например, им предлагали вообразить, что они получили 50 долларов. Можно было оставить 20 либо выбрать лотерею с вероятностью 40% сохранить все 50 и вероятностью 60% потерять всё. Математическое ожидание лотереи, средняя сумма с учётом вероятностей, совпадало с гарантированной суммой. Расчёт даёт 0,4 × 50 + 0,6 × 0 = 20 долларов. Вероятности показывали круговой диаграммой, а гарантированный вариант описывали словами «сохранить 20 долларов» или «потерять 30 долларов».

При положительном описании гарантированную сумму выбирали чаще. Фрейминг обнаружился у всех 20 участников, но его сила заметно различалась. Чем меньше человек поддавался рамке, тем выше был его индекс рациональности. Здесь рациональность означает инвариантность, устойчивость выбора к несущественным изменениям описания. Этот критерий не обязывает предпочитать лотерею гарантированной сумме или наоборот. Проверяют, сохраняется ли предпочтение при переформулировке задачи с неизменными исходами и вероятностями.

Когда выбор согласовывался с рамкой, активность миндалевидного тела была выше. Так происходило при выборе гарантированной суммы со словом «сохранить» или лотереи со словом «потерять». При выборе вопреки рамке выше была активность передней поясной коры. Активность орбитальной и медиальной префронтальной коры коррелировала с индексом рациональности.

Первую связь авторы предлагают объяснять влиянием первоначальной эмоциональной оценки, вторую возникновением конфликта при её преодолении. Для участия префронтальной коры в сопротивлении фреймингу они рассматривают два возможных механизма. Она может тормозить импульсивные ответы или объединять эмоциональную реакцию с другой информацией. Наблюдаемые связи сами по себе не устанавливают такую причинную цепочку и не позволяют выбрать между этими механизмами.

Эта интерпретация связывает решения о риске с чувствами. Авторы сопоставляют фрейминг с эффектом отражения из теории перспектив. Так называют склонность избегать риска ради гарантированного выигрыша и рисковать ради избегания гарантированной потери. Возможное объяснение состоит в особой привлекательности достоверного выигрыша и особой неприятности достоверной потери по сравнению с лишь вероятными исходами. Тогда словесная метка гарантированного варианта меняет эмоциональную реакцию и склонность принять или отвергнуть предложение, хотя денежный итог остаётся прежним.

Поведенческую опору этому объяснению дают опыты с эмоционально окрашенными словами. В одном из них участникам предписывали при появлении слова на экране как можно быстрее тянуть рычаг к себе либо толкать от себя. Значение слова не относилось к заданию. Однако при положительных словах, например «мир», движение к себе было быстрее, чем при отрицательных, например «рвота». Для движения от себя зависимость была обратной. Авторы сопоставляют эти автоматически возникающие тенденции приближения и избегания с реакциями на слова «сохранить» и «потерять» в денежном выборе.

Другой способ исследовать сопротивление первому ответу даёт тест когнитивной рефлексии, CRT. Его вопросы вызывают убедительный, но ошибочный интуитивный ответ. Например, бита и мяч вместе стоят 1,10 доллара, причём бита на доллар дороже мяча. Сколько стоит мяч? Напрашивается ответ «10 центов». Если x обозначает цену мяча в центах, условие даёт x + (x + 100) = 110, откуда x = 5. Проверка условия приводит к ответу «5 центов».

Показать полностью
3

Подборка arXiv · 06.11.2026⁠⁠

Подборка arXiv · 06.11.2026

1. Предел возможностей игры с цветными шляпами
Сколько цветов шляп допустимо, чтобы хотя бы один игрок наверняка угадал свой цвет, видя лишь шляпы соседей? Стратегию согласуют заранее, а отвечают одновременно и без общения. Авторы заявляют, что существуют схемы того, кто чью шляпу видит, позволяющие почти достичь известного общего верхнего предела числа цветов, когда допустимое число соседей велико.

Игра позволяет выяснить, насколько сильной бывает коллективная стратегия, если каждый участник видит лишь часть общей картины.

2. Как случайная мозаика добирается до далёкой точки
Как быстро растущая мозаика накроет заданную точку клетчатой плоскости? Её собирают из квадратов, сторона каждого нового равна сумме сторон двух предыдущих. Горизонтальные и вертикальные добавления чередуются, а направление выбирает монета. Отслеживая границы мозаики, авторы получают, что среднее число шагов растёт как число удвоений расстояния от начального квадрата, а разброс времени покрытия ограничен независимо от расстояния.

Геометрическая игра со случайным выбором оказывается предсказуемой по времени, хотя заранее неизвестно, куда пойдёт рост.

3. Как считать средний исход при множестве источников шума
Как вычислять средний итог случайного процесса с множеством переменных? Вместо независимых случайных проб авторы используют упорядоченную сетку со случайным сдвигом. Для моделей, где каждый источник шума действует на переменные с неизменной силой, они заявляют оценки ошибки, не зависящие от числа переменных и источников шума. Это требует ограничений на гладкость и рост функций, а также на суммарное влияние источников шума.

Обычно добавление переменных усложняет расчёт. Здесь авторы выделяют условия, при которых оценки точности от этого не ухудшаются.

Следить за своими темами, авторами и разделами можно в бесплатном arXiv-боте. Для доступа достаточно подписаться на канал «Математика не для всех».

Читайте «Математика не для всех» в MAX, Дзене и ВКонтакте.

#Математика #arXiv #Исследования

Показать полностью
Отличная работа, все прочитано!

Темы

Политика

Теги

Популярные авторы

Сообщества

18+

Теги

Популярные авторы

Сообщества

Игры

Теги

Популярные авторы

Сообщества

Юмор

Теги

Популярные авторы

Сообщества

Отношения

Теги

Популярные авторы

Сообщества

Здоровье

Теги

Популярные авторы

Сообщества

Путешествия

Теги

Популярные авторы

Сообщества

Спорт

Теги

Популярные авторы

Сообщества

Хобби

Теги

Популярные авторы

Сообщества

Сервис

Теги

Популярные авторы

Сообщества

Природа

Теги

Популярные авторы

Сообщества

Бизнес

Теги

Популярные авторы

Сообщества

Транспорт

Теги

Популярные авторы

Сообщества

Общение

Теги

Популярные авторы

Сообщества

Юриспруденция

Теги

Популярные авторы

Сообщества

Наука

Теги

Популярные авторы

Сообщества

IT

Теги

Популярные авторы

Сообщества

Животные

Теги

Популярные авторы

Сообщества

Кино и сериалы

Теги

Популярные авторы

Сообщества

Экономика

Теги

Популярные авторы

Сообщества

Кулинария

Теги

Популярные авторы

Сообщества

История

Теги

Популярные авторы

Сообщества

Недвижимость и ремонт

Теги

Популярные авторы

Сообщества