Доказательство 0.999 = 1⁠⁠9

0.(9) = сумма бесконечного ряда 9/10^Н при Н от 1 до бесконечности

Для вычисления 0.(9)^2 надо умножить каждый элемент ряда на каждый элемент ряда и сложить это всё.

Наблюдение 1: При умножении М-того элемента ряда на К-тый элемент ряда получается 9/10^М * 9/10^К = 81 / 10^(М+К)

Наблюдение 2: При умножении (М-1)-того элемента ряда на (К+1)-тый элемент ряда получается 9/10^(М-1) * 9/10^(К+1) = 81 / 10^(М+К) - то же самое что в наблюдении (1).

То есть, некоторые из произведений - одинаковые. Сгруппируем их. Для этого, надо выяснить сколько их таких одинаковых бывает. Нужно узнать для каждого Н>=2 сколько есть произведений, равных 81/10^Н. Фактически, надо найти количество решений системы уравнений (М>=1, K>=1, M+K=H} в целых числах. У этой системы уравнений ровно Н-1 решение в целых числах.

Для простоты понимания: возьмем Н=4: 81/10^4 = 9/10^1 * 9/10^3 = 9/10^2 * 9/10^2 = 9/10^3 * 9/10^1

Итого,

0.(9)^2 =

= сумма по Н от 2 до бесконечности (81 * (Н - 1)) / 10^Н =

= сумма по Н от 1 до бесконечности (81 * Н) / 10^(Н + 1) =

= сумма по Н от 1 до бесконечности (8.1 * Н) / 10^Н =

= 8.1 * сумма по Н от 1 до бесконечности Н / 10^Н

Осталось посчитать сумму по Н от 1 до бесконечности Н / 10^Н. Обозначу ее Х:

Х = сумма по Н от 1 до бесконечности Н / 10^Н =

= 1/10 + сумма по Н от 2 до бесконечности Н / 10^Н =

= 1/10 (1 + сумма по Н от 2 до бесконечности Н / 10^(Н-1)) =

= 1/10 (1 + сумма по Н от 1 до бесконечности (Н+1) / 10^Н) =

= 1/10 (1 + сумма по Н от 1 до бесконечности Н / 10^Н + сумма по Н от 1 до бесконечности 1 / 10^Н) =

= 1/10 (1 + Х + сумма по Н от 1 до бесконечности 1 / 10^Н)

Х = 1/10 + (1/10) *Х + (1/10)* сумма по Н от 1 до бесконечности 1 / 10^Н

(9/10)*X = 1/10 (1 + сумма по Н от 1 до бесконечности 1 / 10^Н)

Х = 1/9 (1 + сумма по Н от 1 до бесконечности 1 / 10^Н)

Осталось посчитать сумму по Н от 1 до бесконечности 1 / 10^Н. Обозначу ее У:

У = сумма по Н от 1 до бесконечности 1 / 10^Н =

= 1/10 + сумма по Н от 2 до бесконечности 1 / 10^Н =

= 1/10 + (1/10) * сумма по Н от 1 до бесконечности 1 / 10^Н =

= 1/10 + (1/10) * У

У - (1/10) * У = 1/10

(9/10) * У = 1/10

У = 1/9

Отсюда, Х = 1/9 (1 + У) = 1/9 (1 + 1/9) = 10/81

Отсюда, 0.(9)^2 = 8.1 * Х = 8.1 * 10/81 = 1

Никаких сюрпризов, 1^2 = 1

А вы что думали?