...поскольку, задавая их другим, очень легко нарваться на умника, который станет доказывать Вам, знающему Правильный Ответ, что решение у головоломки совершенно иное. И таки докажет.
Этот пост - о решении головоломок на поиск закономерностей в наборах чисел.
В предыдущем своём посте "Неправильные задачи" ( https://pikabu.ru/story/nepravilnyie_zadachi_5316472 ) я упомянул загадку, подсмотренную на сайте BBS-Russian ( http://www.bbc.com/russian/other-news-41112029 ) и сказал, что она некорректна потому, что имеет бесконечное количество решений, любое из которых можно, не нарушая её условий, назвать правильным.
Дальнейшие комменты показали, что решений действительно много. В частности, было обосновано, что в четвёртый треугольник можно вписать не только 3, как предлагают нам авторы задачи в ответе, но и 4, и 6, и даже 16.
Сейчас я сначала найду самое математически-простое решение, а затем с вашей помощью докажу, что в 4-й треугольник можно вписать вообще любое число, хоть стопицот, да не просто вписать, а ещё и обосновать это, как найденную некую закономерность.
Существует универсальный алгоритм, решающий любую задачу типа "Каким образом из трёх чисел получилось четвёртое?", или, в более общем случае, "Каким образом из N чисел получилось N+первое?", если в условии дано не более N комплектов по N чисел.
Назовём это самое "Каким образом?" некой функцией от N аргументов, в нашем случае от 3. И запишем эту функцию, например, в виде следующего ряда:
f(x,y,z) = Axyz + Bxy + Cxz + Dyz + Ex + Fy + Gz
Вообще, ряд может быть и сложнее, с квадратами чисел, с их кубами, с логарифмами и прочим тяжёлым матаном, но в нашем конкретном случае даже и такого ряда многовато, что сразу видно из подстановки в этот ряд чисел из зашадки про треугольники:
24A + 12B + 12C + 4D + 6E + 2F + 2G = 8
105A + 35B + 21C + 15D + 7E + 5F + 3G = 6
56A + 28B + 14C + 8D + 7E + 4F + 2G = 6
Система из 3 уравнений с 7 неизвестными. Куда нам столько?! Одно дело, когда компьютер под рукой и есть навыки программирования хотя бы на джаваскрипте. Тогда можно тупо с шагом 1 (исходя из того, что если это загадка, то коэффициенты наверняка целочисленные и небольшие) перебрать, допустим, 10000000 комбинаций значений A,B,C,D,E,F,G от -4 до 5 каждое и таким образом найти все варианты, включая вариант авторов задачи: C=1, D=-1, остальные нули. А как быть, если компьютера под рукой нет?
Линейная алгебра учит нас, что система из 3 линейно-независимых уравнений даёт единственное решение для 3 переменных, а если переменных больше, то число решений бесконечно. Мы можем вписать любые числа на место A,B,C и D, лишь бы только после этого уравнения оставались линейно-независимыми, то есть, не получаемыми друг из друга тупым умножением на какие-то числа, а затем сложением друг с другом.
Итак, поскольку нас устраивает любое из бесконечного множества решений, то зануляем сгоряча введённые члены уравнений (A=B=C=D=0) и получаем упрощённую систему из 3 уравнений с 3 неизвестными, которая должна иметь единственное решение:
6E + 2F + 2G = 8
7E + 5F + 3G = 6
7E + 4F + 2G = 6
Есть много способов аналитического решения систем линейных уравнений, самый элегантный, на мой взгляд, из них - матричный, но линейку учили не все, так что мы будем решать примитивным школьным способом.
Домножаем первое уравнение на коэффициент при E второго (он же и третьего), а второе и третье уравнения домножаем на коэффициент при первом E:
42E + 14F + 14G = 56
42E + 30F + 18G = 36
42E + 24F + 12G = 36
Вычитаем первое уравнение из двух оставшихся:
16F + 4G = -20
10F - 2G = -20
Домножаем теперь-второе уравнение на -2:
16F + 4G = -20
-20F + 4G = 40
Вычитаем из него теперь-первое:
-36F = 60
И получаем F = -60/36 = -5/3.
Теперь, определив F, можем решить любое из наших уравнений с двумя переменными:
16*(-5/3) + 4G = -20
-80/3 + 4G = -60/3, 4G = 20/3, G=5/3.
Чоза нафиг? G=-F? А ну-ка, проверим подстановкой в другое наше двухпеременное уравнение:
16*(-5/3) + 4*(5/3) = (-80+20)/3 = -20 таки да.
Наконец, имея коэффициенты F и G, находим из любого трёхпеременного уравнения коэффициент E. Например, из самого-самого первого:
6E + 2*(-5/3) + 2*5/3 = 8
6E = 8, E=4/3.
Функция найдена! f(x,y,z) = (4/3)x-(5/3)y+(5/3)z. Проверим её на втором и третьем треугольниках:
7*4/3 - 5*5/3 + 3*5/3 = (28-25+15)/3 = 18/3 = 6, сошлось!
7*4/3 - 4*5/3 + 2*5/3 = (28-20+10)/3 = 18/3 = 6, тоже сошлось!
И теперь нагло считаем по этой функции число, которое следует записать в четвёртый треугольник:
6*4/3 - 5*5/3 + 3*5/3 = (24-25+15)/3 = 14/3. Не целое? А нам какое дело! Формально задача решена, все свободны.
А Вас, уважаемый продвинутый Матано-Ботано, попрошу остаться.
Используя прочитанный Вами материал, найдите пожалуйста любое целочисленное решение задачи кроме авторского "xz-yz=3". Например, такое, при котором в четвёртый треугольник следует вписать круглый ноль. Ответ жду в комментах.
...Упс, я сказал "Ответ"?
По 10 задаче:
С - стоимость литра молока
Х - литров молока
С=(100/Х)-1 четное число
100/Х нечетное число
Х=4 и 20
4 литра по 24 копейки, 4 копейки сдачи
20 литров по 4 копейки, 20 копеек сдачи
По 8:
Там всё не так страшно, последовательность оказалась периодической с периодом 8.
Вот первые 11 чисел
{a, b, c, (1 + b + c)/a, (1 + a + b + c + a*c)/(a*b), ((1 + a + b)*(1 + b + c))/(a*b*c), (1 + a + b + c + a*c)/(b*c), (1 + a + b)/c, a, b, c}
Я математик в отставке и это как то жестко для 5 класса
в принципе и я тоже уже все устно решил. Давайте теперь ответами и решением поделимся. Сначала вы... )))
Ответ на задачу номер 10 будет: 1 копейка за литр молока.
А то что 1 нечетное число не смущает?)
Ладно, 2-е копейки за литр.
Я только прочитать смог. Не с первого раза правда.
У нас такие олимпиадные задачки были. Похоже кто-то решил за счет пикабу олимпиадку выиграть?
(100-х)/х = 100/х - 1, и это должно быть чётное число. Соответственно, 100/х (за х обозначил сдачу и также литры) - число целое и нечетное. Прогоняем через х все возможные делители 100 и выбираем подходящие.
Ну решите уже кто нибудь, в самом деле!
1994, очевидно же
2 варианта на №8:
1) S1994=(S1992+S1993+1)/S1991
2) Отличным от нуля
=)
S=0,000000126 , S*1994=0.000251244 офигенное число)
0.000251244 а чем вам не число. самое настоящее число, из рациональных.
Я так понял, что в задаче №1 геометрическая прогрессия.
с меняющимся основанием, ага.
Это ж 5-ый класс! Делов-то на 5 минуть.
S2 = S1 + 33
S3 = S2 + 102
да ну вас нахер с такими задачами...
Как говорил т. Станиславский - "не верю"©
Или ребёнок подшутил над автором, или он над нами. Не может такого быть в пятом классе.
...На олимпиаде было предложено 5 задач, и несколько участников получили первые премии. Известно, что никакие пятеро из них не решили в совокупности всех пяти задач, но любые пятеро решили- также в совокупности-все задачи. Сколько человек получили первую премию?...
Так вам ребёнок из школы это принёс или лично учитель вам в руки дал такое задание?
Просто пытаюсь понять, кто врёт.
Это физдёж. Не может такого быть.
Или ваш ребёнок вас обманывает или вы нас.
Это перебор. Большинству 5 клюшкам это не под силу. Я как то подрабатывал репетитором, кое как научил 9 классницу основам арифметической и геометрической прогрессии
a*d=b+c+1
отсюда d=(b+c+1)/a неплохая такая прогрессия для вычисления следующего элемента последовательности.
Я правильно думаю? Если посчитать d и e, потом разделить e на d - получим множитель прогрессии, потом просто нужно вычислить какое число будет на 1994 шаге с таким множителем?
множитель прогресии при этом постоянно меняется.
50 литров молока купить это ппц конечно, сыр наверно делать собрался =)
Херню я сморозил =( про четность не заметил.
100 = xy+x, где x это кол-во литров и сдача, а у это стоимость литра.
100 = x(y+1) => 100/x -1 = y => (2*2*5*5)/x - 1 = y
Ну а дальше все просто: x = 4 либо 20