МатОлимп #12⁠⁠

Хорошее решение, но фиг догадаешься) Я как-то более в лоб решил, через построение гипербол и сравнение суммы и произведения на больше-меньше.

Сначала рассмотрим и преобразуем уравнение x + y = xy:

y - xy = -x
y (1 - x) = -x
y = -x / (1 - x) = x / (x - 1) = (x - 1 + 1) / (x - 1) = 1 + 1 / (x - 1)

Это гипербола на плоскости xy с асимптотами x=1 и y=1, проходящая через точку (2, 2). Она делит область на 3 части: x+y < xy (над гиперболой), x+y < xy (на гиперболе) и x+y > xy (под гиперболой). Вторая ветвь гиперболы находится вне области x, y больше или равных 1, и потому не рассматривается.

Сначала рассмотрим случай на гиперболе, xy = x+y. У него есть единственная точка, где x и y оба целые - (2, 2). При рассмотрении связи переменных x, y с переменными z, t, очевидно, что отсюда получается единственное решение (2, 2, 2, 2).

Теперь рассмотрим случай над гиперболой: x+y < xy

Из системы уравнений

x + y = zt
xy = z + t

понятно, что у переменных zt ситуация обратная: z + t > zt, т.е. она находятся под своей гиперболой. Единственные точки с целыми координатами в этой области - те, у которых z или t равно 1. z и t симметричны, так что рассмотрим случай t=1. Получим:

x + y = z

xy = z + 1
x + y + 1 = xy
y - xy = -(x + 1)
y (1 - x) = -(x + 1)
y = -(x + 1) / (1 - x) = (x + 1) / (x - 1) = (x - 1 + 2) / (x - 1) = 1 + 2 / (x - 1)

Это снова гипербола с асимптотами x=1 и y=1, но она проходит через целые точки (2, 3) и (3, 2). Они обе подходят под решение, и из них следует z=5. И симметрично рассматривается случай z=1, который приводит к t=5.

Случай x+y > xy симметричен случаю x+y < xy.

Итого получается решение (x, y, z, t) = (2, 2, 2, 2), а также 8 симметричных решений, которые можно записать как равенство множеств {{x, y}, {z, t}} = {{2, 3}, {5, 1}}, или подробно:

(2, 3, 5, 1)
(2, 3, 1, 5)
(3, 2, 5, 1)
(3, 2, 1, 5)
(5, 1, 2, 3)
(1, 5, 2, 3)
(5, 1, 3, 2)
(1, 5, 3, 2)