Математики, можно по простому?⁠⁠

Попробую объяснить, хотя я 10 лет не открывала алгебру.

Разрешимость уравнения - можно явно указать формулу, по которой считаются корни уравнения. Например, для квадратного уравнения есть формула, где можно считать корни через дискриминант.

Теория Т - имеется в виду некий набор/тип чисел с действующими над ними арифметическими операциями. Например, Т это целые числа со введенными операциями сложения, умножения, вычитания, деления не на ноль. Если вы эти операции применяете к целым числам, вы всегда получаете целое число и остаетесь в рамках этого множества целых чисел.

Теорема говорит, что для каждой не противоречивой теории Т можно придумать такую формулу, куда будут входить степени и перемножения неотрицательных целых чисел и некое постоянное число К, подобрать число К (бесконечное количество таких чисел), что невозможно написать решение в виде формулы, которая давала бы ответ в виде неотрицательных целых чисел. Но фишка в том, что если вы остаетесь в рамках теории Т и не вспоминаете про другие числа (например, иррациональные, отрицательные и так далее), то вы не можете доказать неразрешимость.

Что это значит: допустим, мы живем в неотрицательных целых числах. Возьмем квадратное уравнение x^2 + 2x - 5 = 0,

Его корни содержат корень из пяти. Корень - иррациональное число, а мы живем в целых числах и про такие числа не знаем. Значит, это уравнение неразрешимо в целых числах.

Более того, если мы заменим в этом уравнении 5 на любое другое число, при котором корень из дискриминанта - не целое число, а иррациональное, то это уравнение останется неразрешимым. Но мы никак не можем доказать это утверждение, оставаясь в мире, где есть только целые числа.