Эти ваши комплексные числа⁠⁠

Начнём с уточнения: комплексный бывает обед, а числа комплексные.

Я тут когда-то поставила себе на заставку высказывание одного там военрука: "В военное время синус может достигать четырёх". Этот военный синус давно не давал мне покоя. Фишка-то в том, что в ТФКП (теория функций комплексного переменного) всякая трезвая функция достигает всего. Но люди об этом чаще всего не знают. Им кажется, суть истории в том, что военрук чушь несёт. Но нет. Суть в том, что он обосновывает верный тезис абсурдным для данного тезиса аргументом.

Итак.

Что же это за числа, и как же так вышло, что вы учились, учились, а их не встретили.

Давайте вспомним началку. Вам говорили: нельзя вычитать из меньшего большее. Потом стало можно. Помните, как это вышло, что было нельзя - и вдруг можно? Давайте напомню: вам рассказали про отрицательные числа, они-то и будут в ответе в примерах а ля "3 - 5 = ?".

Как обосновывалось это "нельзя": ну как же. Мы разность определили как то число, которое, будучи сложенным с вычитаемым даст уменьшаемое. Одиннадцать минус пять - это шесть потому, что шесть плюс пять - одиннадцать: 11 - 5 = 6 потому, что 6 + 5 = 11.

Чтобы вычесть из тройки пятёрку (упростить "3 - 5") привычным способом, мы должны подобрать такое число, чтобы оно плюс пять стало бы равно трём: "что-то + 5 = 3". Давайте попробуем. Один плюс пять... гм. Уже перелёт. И далее перелёт только по нарастающей - если мы владеем пока только натуральными числами: один, два, три и так далее.

По-моему, тут продуктивнее не нельзякать с детьми, а говорить откровенно: "вы просто ещё не знаете, как записать ответы в таких примерах. Нам нужны будут новые закорючки, и новые числа. Мы ещё с ними не познакомились, но это лишь дело времени".

Дальше, когда вы в 7-8 классе грызли квадратные корни, вам говорили, что корень из отрицательных чисел извлечь нельзя. Действительно, было бы можно - были бы числа, которые бы в квадрате давали бы что-нибудь отрицательное. Но ведь тут как ни пробуй, каждый раз получается ноль или больше. Всё, что не ноль, в квадрате больше нуля. А ноль - сам себе квадрат. Ну и вопрос: где взять такое, чтобы оно в квадрате было бы ну хотя бы... ну вот хотя бы минус единицей.

Вы не поверите, но мы действуем ровно так же, как с отрицательными. Просто введём тут новую закорючку, назовём это i. "И" с точкой. Это вот - корень из -1, по определению i как числа.

Отметим i на высоте в единицу на оси y - тут вы опять не поверите, но комплексные числа изображаются уже не на прямой, а на плоскости. Эта плоскость так и называется - "комплексная плоскость". С вложенной в неё по горизонтали прямой действительных чисел.

Действительные - это которыми в школе обычно заканчивают. В общеобразовательной программе у нас натуральные (один, два, три...), потом целые (с нулём и отрицательными), потом ещё дроби обыкновенные (рациональные числа), потом ещё десятичные (действительные). И всё это на горизонтальной прямой действительных чисел, вложенной в плоскость комплексных чисел.

Ах да, зачем же нам плоскость, если пока что у нас только это i с точкой (которое, по его определению, в квадрате даёт -1) и старая наша прямая? Одна прямая и одна точка, зачем тут плоскость?

А просто надо старую единицу и это вот новое i считать базовыми единичными векторами. Старая единица - наш единичный вектор по горизонтали вправо. А i - наш единичный вектор, торчащий как 49,5 прям вверх. Помните, векторы были где-то там на геометрии. Их можно складывать между собой, вычитать, и умножать на числа (пока что просто действительные). Так мы получим всякие комбинации типа x + iy. Три с половиной да плюс пять i - отличное же число: 3,5 + 5i. Или ещё логарифм двух и i корней из восьми - это я тут уже не напишу, тут не такой вам редактор, чтобы формулы делать. Или словами отчасти: log 2 + i (корней из восьми).

То, что без i, называется... да, действительной частью. То, на что i умножается - это часть мнимая. Как то пиво с картинки.

Ну и вишня на торте - их (комбинации типа x + iy) можно перемножать.

ЗЫ ежели пост наберёт комментариев да с вопросами, я буду рада продолжить эту светлую деятельность по разъяснению всякой математической мути и анекдотов. Птушшо тут, разумеется, интересно донельзя - всякие там сообщества вроде "времени разных историй" и "мля", я там подписана, но иногда вспоминаю, что можно же что-то без ужасов и без срачей. Почему бы и нет.