Теорема, которой не хватает⁠⁠

Навеяно вчерашним обсуждением, пост не сохранил. Вопрос был о рациональности корней произвольной степени из числа 4.
А помните школьное доказательство иррациональности корня из двух? И не надо, это лишь частный случай.
Теорема
Если корень произвольной натуральной степени из натурального числа является рациональным, то этот корень обязательно число натуральное.

Доказательство. Рациональный корень n-ой степени из натурального числа можно представить в виде несократимой дроби с натуральными числителем а и знаменателем b. Так как в разложении чисел а и b на простые множители общих множителей нет (иначе сокращаем дробь), то а^n и b^n также не имеют общих простых множителей, дробь (a/b)^n также является несократимой, поэтому равняться натуральному числу может только при условии b=1. Теорема доказана.
Следствие
Если корень любой натуральной степени из натурального числа не является натуральным, то он есть число иррациональное.

То есть, для корня пятой степень из четырёх или кубического корня из тринадцати не требуется отдельных рассуждений и доказательств.