Логика и парадоксы⁠⁠

Многие из нас встречались с классическими парадоксами на уроках в школе, на парах в ВУЗе или в научно-популярных публикациях. Я предлагаю обсудить некоторые парадоксы с точки зрения формальной логики и на их примере разобрать конструкции в формальной логике. Для начала я предлагаю разделить парадоксы на 3 класса

• Истинный парадокс - корректное рассуждение, которое приводит из истинных посылок ложному заключению. Таких парадоксов не известно. Однако если бы мы такие нашли, то это было бы крайне интересно.

• Ложный парадокс - рассуждение, которое из истинных посылок приводит к ложным выводам, но содержит какую-нибудь неочевидную ошибку. Например, парадокс брадобрея.

• Псевдопарадокс - верное рассуждение с верным выводом, который, однако, выглядит ложным. Например, парадокс Банаха-Тарского.

Деление не является каноническим, и если у вас есть другие варианты либо уточнение этих - смело предлагайте.

Классические парадоксы мы знаем еще от древних греков, они же развивали логику. В частности, так называемую логику Аристотеля или логику нулевого порядка в современных терминах. Многие из вас с ней знакомы, это там где истина-ложь, и-или и прочее. Чуть позднее люди придумали кванторы, расширили логику и получили логику первого порядка. Бывают логики и более высоких порядков, и неклассические логики. Я же по возможности ограничусь логикой первого порядка.

Начнем с парадоксы Зенона: Ахиллес и черепаха, дихотомия, стрелы

Первый формулируется примерно так: Ахиллес бегает в 10 раз быстрее черепахи, но никогда ее не догонит. Допустим между ними 100 метров. Когда Ахиллес пробежит их, черепаха убежит от начального места на 10 метров. Ахиллес пробежит и их, но черепах сдвинется на метр. И так далее.

Второй звучит так: движение невозможно. Чтобы пройти метр, нужно сначала пройти полметра. А для этого четверть. И так далее.

Третий звучит так: стрела неподвижна, ибо любой момент времени она неподвижна, а значит и неподвижна в целом.

Все эти парадоксы ложны по классификации, приведенной выше, так как содержат в своей формулировке ряд предположений, который в совокупности ложны. А из ложного утверждения следует что угодно. То есть утверждение "2=5" ложно, а утверждение "если 2=5, то все крокодилы летают" истинно.

В первом парадоксе делается ряд неявных предположений: "пространство можно делить на отрезки сколь угодно малой длины" и "бесконечная сумма промежутков времени ненулевой длительности бесконечна". Если что, дело тут не матане и теории рядов. Точнее, теория рядов помогает сделать утверждения, которые в совокупности не противоречат друг другу. А именно, мы понимаем, что такое бесконечные суммы и что они могут быть конечными. Либо есть вариант с дискретным представлением пространства, то есть запретом на бесконечные деления.

Второй парадокс по сути решается так же.

Третий делает подмену понятий. Из того, что в фиксированные моменты времени не происходит движения не значит, что движения не происходит вообще. Собственно, движение - это изменение координат со временем, а не в конкретный момент времени.

В конце добавлю, что есть и альтернативные подходы. Например, можно придумать какую-нибудь другую концепцию движения, в которой посылки "Ахиллеса и черепахи" не будут приводить к противоречию и действительно один другого не догонит. Но это будет другая физика, другая математика, которая не соответствует реальности или мат.моделям реальности.