Загадка простых чисел и теория симметрии⁠⁠

Добрый день всем! Это мой первый пост на Пикабу, прошу не судить строго. Это пост-вопрос по математике.
Я увлекаюсь несложными загадками математики, и особенно меня привлекла загадка простых чисел. А именно - существует ли формула для их нахождения.
И вот, перебирая всякие варианты, мне бросилась в глаза "простая" (каламбур) мысль - ведь по сути, все простые числа отличаются от составных тем, что у них доступно меньше симметричных преобразований. Если 60 делится без остатка на 5 чисел, то 57 только на себя и на единицу.
Тут я стал копать по симметрии, и выяснил, что, оказывается, огромная часть последних достижений в математике и физике, в частности, доказательство теоремы Ферма, или Стандартная теория - они практически целиком основаны на теории симметрий, которую очень завуалированно называют "теория групп" (видимо, чтобы никто не догадался).
Это ещё более убедило меня в правильности моих догадок.
Так вот, мой вопрос - поскольку мои знания теории групп стремятся к нулю, хотелось бы спросить у людей знающих - а нельзя ли из свойств группы симметрии, к которой принадлежат все простые числа, вывести некие закономерности, которые позволили бы без проведения факторизации определить, простое число или нет?
Буду очень признателен за ответ.