Учебники. Математический анализ.⁠⁠

Добрый день :)
Я живу на этой планете почти 21 год, заканчиваю бакалавриат физтеха МИФИ и уже долгое время занимаюсь репетиторством.

Продолжаю тему учебников для института. В этом посте рассмотрю более подробно математический анализ. 1 курс.

Первый человек в матанализе, с которым должен познакомиться каждый первокурсник - Борис Павлович Демидович.
Его задачник(https://drive.google.com/file/d/1UXYijBUL9cxwvGn-158HidKf3uc...) был переведен на множество языков и используется повсеместно.
В нем рассмотрены практический все задачи, которые вообще могут пригодиться учащимся - углубленное дифференцирование и интегрирование (в том числе и от нескольких переменных), подробное рассмотрение пределов и рядов. Одним словом - огромный торт применения матана. Четырьмя словами.
Есть решебник. Насколько я понял, вконтакте есть и русская версия, но ее я никогда не трогал. В китайском подглядывали несколько сумасшедших задач - получалось все правильно.

Вторые два имени - Лев Дмитриевич Кудрявцев (https://alleng.org/d/math/math98.htm) и товарищ Фихтенгольц(https://nashol.com/2017052594676/osnovi-matematicheskogo-ana...). Их многотомники по теории математического анализа я считаю максимально полезными для изучения предмета, они примерно одинаково удобоваримы и понятны. Но лучше и лекции не прогуливать, конечно :)

1) Введение в матанализ.
Первое, с чем сталкиваются учащиеся - кванторы и различная новая символика. На этих символах построена вся база определений - кванторы упрощают записи слов. Здесь советы особо не требуются - для понимания предмета кванторы нужно знать, все знаки в задачах и определениях также нужно знать и понимать отличие между эпсилон-окрестностью и проколотой эпсилон-окрестностью. Вопрос простой, а незнание может привести к неприятностям.
Наверняка у многих будут всякие разные коллоквиумы, поэтому с пониманием темы рекомендую не затягивать. Матан - наука, требующая перестройки ума, а на это необходимо время. Разбирайтесь!

2) Пределы.
"Что?! На ноль делить можно?"
Пределы - тема вечная. Что к чему стремится и каким образом это достигается. Сначала студентов долго мурыжат огромными пределами, заставляя упрощать или сводить к Замечательным пределам, затем страдающему дают - О, чудо! - правило Лопиталя. И все, студент неуязвим.
В этом разделе важно уметь видеть Замечательные пределы, которые часто не очевидны, чтобы не наделать ошибок, и очень важно знать и понимать определение предела по Коши - с помощью него дается понимание самого предела. Когда это определение станет понятно, то в голове сразу заиграет "елки-палки, да это же очевидно!".
Вообще Коши - один из моих кумиров. Этот человек сделал столько для науки, сколько сейчас не делает весь мир.
Помимо Демидовича я бы советовал порешать пределы у Бермана(https://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&a...). У него есть и интересные пределы, и интересные вопросы - без знаний уйти не удастся. В то же время у него есть очень простые задачки, чтобы влиться.
И помните - на ноль делить можно только в пределе.

3) Производная и дифференцирование.
После пределов через появляется дифференцирование - одновременное изобретение Ньютона и Лейбница, которое они делили до конца жизни (https://ru.wikipedia.org/wiki/Спор_Ньютона_и_Лейбница_о_прио...). 
Производная - это счастье. Например, многие интегралы берутся очень сложно или даже не берутся вообще - производную можно взять всегда, поэтому самое важное - быть очень аккуратным и учить таблицу производных. И решать, решать, решать, брать километровые производные, чтобы в будущем применять и не сомневаться (применять придется много).
Если ничего не путаю, здесь же появится вишенка на торт дифференцирования - формула Тейлора. Эта вещь спасает жизнь, когда, казалось бы, проще умереть, чем решить. Используется довольно часто.
Кстати, применять приближения Тейлора начинают еще с пределов, но там это сведено до сухой сути типа tgx~sinx~x.
Остаточный член - не игрушка. Не отбрасывайте!

4) Интегрирование.
Решить задачу с анизотропностью? Найти объем банана? Все возможно, если с вами интеграл!
Интегрирование - вещь темная. Если сходу видно как можно взять интеграл - счастливый случай. В большинстве случаев придется крутить интеграл вокруг да около или искать иные методы, которых очень много.
Что важно - перестроить голову после дифференцирования (на sin и cos особенно путаются) и учить таблицу и методы. Чем больше методов знает учащийся, тем ему проще (но это ни в коем случае не делает его умнее).

Помню, на первом курсе писали контрольную по интегралам. Мне остался один, но я забыл к нему метод. Я крутил-вертел его полчаса на двух листах, но взял! Преподаватель тогда мне слегка занизил балл за это извращение, но это все равно была победа. Желаю всем своих собственных побед :)

Здесь же появится великолепная теорема о среднем, которая спасет некоторых от интеграла Пуассона при решении физических задач (но не всех).
В 3 и 4 пункте советую также книгу Фихтенгольца "Дифференциальное и интегральное счисление".

Когда начнется выяснение сходимости, нужно быть таким же аккуратным, как и при вычислении предела. Чем больше признаков сходимости знает учащийся - тем ему проще в той или иной задаче. Но в особо высокие мотивы уходить тоже не надо.
Все эти признаки будут рассказаны. Я хочу обратить внимание на признак Ермакова - он так и не был доказан, хотя вроде бы работает и в некоторых изощренных случаях вполне упрощает жизнь. Страждущему уму рекомендую обратить внимание.
Из постоянно используемых методов рекомендую обратить внимание на признак Абеля - он очень красив, на мой взгляд.

И не забывайте про константу интегрирования! :)

Рискну посоветовать обратить внимание на сайты, где за Вас программа возьмет интеграл. Злоупотреблять не надо, но проверять себя можно. А если студент начнет осваивать великий Маткад - ууу...

5) Ряды.
В жизни практически любого ученого нельзя убежать от двух фамилий - Коши и Фурье. И именно ряды Фурье повсеместно встречаются.
При изучении рядов очень пригодится повторение формулы по нахождению суммы бесконечно убывающего ряда. 
Ряды - вещь простая и приятная. Обратите внимание, для каждого ряда есть свой признак, не нужно смешивать (я про знакопеременные или знакопостоянные ряды, например).

Плюс к задачнику Бермана смею порекомендовать также задачник Гюнтера - https://www.studmed.ru/gyunter-nm-kuzmin-ro-sbornik-zadach-p...
У него есть и матан, и диффуры, и немножко ангема и даже кусочек физики. Абсолютно адекватный задачник без лишних изысков или чрезмерной простоты.

Далее у кого-то начнется теория поля (градиент, ротор, дивергенция), у кого-то теория групп(гомоморфизм), но это уже совсем другая история :)

В матане главное очень много решать, набивать руку, чтобы в дальнейшем выполнять большую часть операций на автомате, не тратя лишних сил. Для этого нужно взять сто интегралов, посчитать сто производных и доказать сходимость ста рядов. :)

В конце хочется дать очень простой совет - разбирайтесь. Не отвечайте по принципу "потому что Танька так сказала" или "не знаю, у меня так записано". Каждая операция и каждый символ должен быть на своем месте и с конкретной целью. Иначе обучение пройдет мучительно и абсолютно бестолково.

У меня остались лекции от одного из моих замечательных преподавателей, который сейчас, к сожалению, уже ушел в мир иной, но его знаниями мы пользуемся и сейчас - https://yadi.sk/d/VdKVvMmTN3wEbg

Буду очень рад узнать ваше мнение.

Вот моя рабочая почта - alexjuriev3142@gmail.com. Если у Вас есть какие-то ко мне вопросы - пишите туда, я буду рад помочь. Если хотите, чтобы я ответил Вам здесь, пишите, пожалуйста, свой комментарий с упоминанием моего имени, то есть @AlexAlpha, тогда мне будет проще Вам ответить.
Успехов! :)