Долгие разборки с музыкальной теорией
Что не так с нашей музыкой, почему в учебниках по теории музыки написано не всё и откуда же растут ноги. Размышления вслух и история поисков
Товарищам музыкантам и гитаристам в частности. Очень сумбурный длиннопост.
[Если вы знакомы с равномерной/неравномерной темперацией, если вы гуру музыкальной теории, если вам знакомы понятия "волчья квинта" и т.д., и т.п., то вам будет совсем неинтересно читать этот текст.]
.. и вот однажды вечером решил я поиграть на гитаре. А с чего начинается игра на гитаре?? Правильно, с её настройки.
Гитаристы знают, что есть множество способов настройки гитары. Но у меня был свой, как мне казалось, «правильный» способ настройки, который, однако выбешивал меня тем, что третья струна упорно не хотела звучать на нужной частоте. Или способ был не такой уж правильный?? В общем, захотелось мне окончательно разобраться, в чём же причина того, что гитара за $1, за $10, $100 и даже за $1000 упорно не хотят настраиваться.
Итак, по порядку:
У обычной гитары шесть струн. Они называются «первая», «вторая» и т.д. Струны отличаются толщиной, первая струна самая тонкая, вторая — чуть толще и т.д. (это если у вас нормальная гитара =^_^=, но байку про струны я расскажу в другой раз). Чем толще струна, тем ниже частота её колебаний. Чем сильнее она натянута, тем частота колебаний выше. Когда мы прижимаем струну на определённом ладу (порожке), мы сокращаем длину звучащей части струны. Это всё понятно.
Первый способ настройки, о котором рассказывают во всех учебниках и школах, состоит в том, что мы прижимаем более толстые струны на определённых ладах и изменяем их натяжение таким образом, чтобы они звучали в унисон с открытыми. В частности:
● Настраиваем первую струну по камертону. Или просто как-то её настраиваем, чтобы не сильно болталась, все остальные струны будут настроены относительно этой самой первой струны.
● Зажимаем вторую струну на пятом ладу. Она должна звучать так же, как и незажатая («открытая») первая.
● Третья струна на четвёртом ладу должна звучать, как и вторая открытая.
● Четвёртая струна на пятом ладу должна звучать, как и третья открытая.
● Пятая струна на пятом ладу должна звучать, как и четвёртая открытая.
● Шестая струна на пятом ладу должна звучать, как и пятая открытая.
Этот способ известен с детства, но даже мой детский ум тогда осознал, что небольшая ошибка настройки будет накапливаться и шестая струна будет звучать не так, как должна. Не на той частоте. Кстати, о частотах: каждая музыкальная нота имеет свою определённую частоту, в частности, вот на каких частотах звучат открытые гитарные струны:
Шестая струна должна звучать на частоте, равной частоте первой, делённой на четыре, то есть, одновременное звучание первой и шестой струны должно дать некое подобие унисона, не должно быть никаких «биений».
И, кстати, о нотах. Открыв любой-таки учебник мы прочитаем следующее:
«Музыкальный интервал между двумя нотами, отличающимся по частоте в два раза, называется октавой. Октава делится на двенадцать полутонов. Гитарные порожки расположены таким образом, что при зажатии струны, например, на первом ладу, мы увеличиваем её частоту на полтона, на втором — ещё на полтона, т.е. на целый тон относительно открытой..»
Бла-бла-бла, всё понятно. Октава делится на полутона следующим образом:
ДО | ДО диез | РЕ | РЕ диез | МИ | ФА | ФА диез | СОЛЬ | СОЛЬ диез | ЛЯ | ЛЯ диез | СИ
Расстояние между соседними звуками равно одному полутону.
В общем, мне было всё понятно и первые пару месяцев я настраивал свою гитару именно так. Бесило следующее: при подключении к усилителю звук одновременно звучащих струн при включенном «перегрузе» был ну просто совсем адским.
Методом проб и ошибок (ведь я был социопатом, живущим в Мухосранске; друзья мне помочь не могли, Интернетов тогда не было, а в местной библиотеке лежал занюханный самоучитель одна тысяча девятьсот лохматого года выпуска) было выяснено, что более-менее чисто звучат только две-три струны одновременно, да и то, если разница между звуками равна либо октаве либо так называемой «квинте».
Что есть квинта?? Это семь полутонов. Пример: ДО -- СОЛЬ. Или ФА -- ДО
Но как-то не очень чистенько у меня звучали эти самые квинты. Возможно, я слишком сильно прижимал струны при настройке?? Или при игре?? Или настраивал хреново?? В общем, что-то было не то..
А потом я узнал про флажолеты. Это когда струну касаешься пальцем левой руки в определённом месте, а правой рукой дёргаешь. И звучит она не на своей частоте, а на какой-то другой. Повышенной. Физику процесса я понял лишь потом, а тогда я прочитал лишь «флажолет на 7 ладу даст такую-то ноту, флажолет на 5 — другую какую-то»:
И я понял: вот оно!! Натуральные флажолеты извлекаются на открытых струнах, теперь качество настройки не будет зависеть от того, как сильно я прижимаю струну.
Итак, приступаем к настройке.
● Первую струну считаем условно настроенной.
● Извлекаем флажолет на шестой струне на пятом ладу и подтягиваем её так, чтобы она звучала в унисон с первой открытой.
● Извлекаем флажолет на второй струне на пятом ладу и флажолет на первой струне на седьмом ладу. Должен быть унисон. Подкручиваем вторую струну.
● Далее: флажолет на шестой струне на пятом ладу и флажолет на пятой струне на седьмом ладу должны звучать одинаково (подкручиваем пятую). Так же, как и флажолет на пятой струне на пятом ладу с флажолетом на четвёртой струне на седьмом ладу (подкручиваем четвёртую). И флажолет на четвёртой струне на пятом ладу с флажолетом на третьей струне на седьмом ладу (подкручиваем третью).
Квинты стали звучать чище. Но всё равно, оставалсь какая-то хрень. В частности, первая струна на третьем ладу (нота соль) не звучала в октаву с третьей открытой. Ну совсем противно звучала. Сначала я грешил на гитару. Потом — на струны. Потом — на свои кривые руки (но флажолетные унисоны звучали ОЧЕНЬ чисто, так что этот фактор я тоже в конце концов отмёл). Впрочем, способ мне нравился больше, чем классический, и я им пользовался много лет.
Наконец, став обладателем гитары за много сотен баксов (с идеально поставленными порожками!!), отстроив мензуру (это типа «подкрутить винтики так, чтобы струна на 12 ладу звучала РОВНО на октаву выше открытой») и проведя настройку по флажолетному методу я убедился, что хрень повторяется снова и снова. Пришлось настроиться по тюнеру. Но квинты не звучат идеально.. а ведь в учебниках написано, мол, «совершенный консонанс!!».
Где же порылась собака?? Внимательно присмотревшись к маршруту настройки я понял, что ошибка теперь может быть связана только с одним фактором. А именно: натуральные флажолеты вовсе не дают те ноты, которые я ожидаю услышать. В учебниках написано что-то не совсем верное.
Тогда я ещё не представлял, в какие дебри заведёт меня эта догадка..
Итак, эти несчастные квинты никак не хотят звучать чисто. А, может, они и не должны чисто звучать??
На просторах Интернета (а тогда — в журнале «Радио») легко можно было найти следующую табличку:
И пишут ещё, что отношение частот двух соседних звуков равно корню двенадцатой степени из 2. Похоже на правду.
Что ж, давайте попробуем. Сгенерируем два синусоидальных сигнала с частотами, например, ля большой октавы и ми второй октавы (это будет как раз интервал квинта), совместим их и посмотрим на них внимательно:
Чёрт, вот же оно!! Биения!! А чтобы их не было нужно.. очевидно, чтобы частоты были «более-менее кратные» ©
А именно, если вместо второго звука с частотой 659,26 Гц сделать звук частотой 660 Гц = 3/2 * 440 Гц, то биения естественным образом исчезнут:
И вот тут-то до меня начало доходить, в чём была моя ошибка..
Ведь что такое «флажолет»?? Это такой способ извлечения звука, при котором мы глушим все нижние гармоники. Либо первую. Либо первую и вторую. Либо первую, вторую и третью. Либо.. и т.д.
[Здесь надо бы нарисовать картинку, но, увы, не знаю, как это по-быстрому сделать]
Флажолет на седьмом ладу будет являться третьей гармоникой от частоты открытой струны. А на пятом ладу — четвёртой гармоникой.
Шестая струна настраивается на частоту 82,4069 Гц, как и должно быть.
Дальше я начинаю использовать флажолеты и получаю:
Четвёртая гармоника шестой струны: 329,6276 Гц, она должна совпадать с третьей гармоникой пятой струны. Следовательно, пятая струна начинает звучать на 109,8759 Гц. Её четвёртая гармоника — 439,5034 Гц… и т.д.
В итоге, если настраивать тупо по флажолетам, чтобы они звучали чисто, то третья струна получается настроенной в 195,3348 Гц. А должна быть 195,9977 Гц. Это уже ощутимо. Даже на неискушённый слух.
Так что настраиваться нужно иначе. Видимо, тюнер нам поможет.
Но теперь у меня появилось несколько вопросов:
● Флажолет, дающий третью гармонику, не равен частоте ноте из таблицы. (Например, на шестой струне третья гармоника будет звучать на частоте 247,2207 Гц, а по таблице должно быть 246,9417 Гц). Таблица — говно?? Не думаю так, все ей пользуются. Тогда почему же в книжках пишут о том, что звуки, извлечённые на флажолетах, являются каким-то нотами, ведь частоты-то немного не совпадают??
● Квинты не звучат идеально чисто. С другими музыкальными интервалами всё ещё хуже. А если почитать учебник по теории, то в этих интервалах вообще запутаешься. Откуда так много?? И почему, несмотря на разные названия, интервалы часто бывают равны друг другу?? Зачем столько названий?? Что-то тут не так, что-то в моих учебниках не договаривают. Но ведь музыкальную теорию не дураки придумывали, её ж веками народ «оттачивал». Или не веками?? Или Моцарт херачил абы как и получалось хорошо просто потому что он гений и ему не нужна теория?? (ну.. как «хорошо».. своё-то нормальное только к 18 годам стало появляться. Впрочем, это нисколько не умаляет его гениальности).
● Почему отношение частот у звуков именно такое?? Почему октаву разделили на 12 полутонов?? Да и вообще, если взять слово октава, то очевидно, что звуков в октаве должно быть 8. До-Ре-Ми-Фа-Соль-Ля-Си-До?? Но это ж хрень, что вы мне лапшу-то на уши вешаете, вторая До относится к следующей октаве. Но ведь, опять же, идиоты же это всё придумали. Там ведь ещё какие-то промежуточные звуки есть, с диезами-бемолями. Надо разбираться.
(есть и хорошие учебники, только их без торрентов фиг найдёшь. Да и на торрентах надо знать, что искать. Дают тебе три сотни книг и давай, разбирайся в них.. бр-р-р..)
В общем, получалось так, что не всё так просто с этой музыкой. И для того, чтобы разобраться в появившихся у меня вопросах, придётся копнуть глубоко. Куда-нибудь вглубь веков. И, помнится мне, был некий Пифагор, который тоже занимался музыкально-математическими вопросами.. и получилось у него, кажется, не идеально..
Музыка существует чуть ли не с момента существования человечества, поэтому некий Пифагор, отличавшийся особым умом и сообразительностью, не упустил возможности поэкспериментировать со звуком. Это не значит, что он был единственным, или что он был первым, но речь сейчас будет именно о нём.
Товарищ обратил внимание, что вторая гармоника (или второй обертон, как выражаются музыканты) очень хорошо сливается с основным тоном. Четвёртая — аналогично. Третья тоже сливается, но не так идеально красиво, как вторая или четвёртая. Особенности человеческого слуха и психики, однако.
(А раз звуки сливаются, то и называть их стали одинаковыми именами. Хоть названия нот придумали намного позже, буду употреблять их здесь).
Дальше начинается интересное. Певцу, чтобы петь, необходимо выбрать (обычно это происходит абсолютно интуитивно =^_^=) некий опорный звук, будем называть его словом тоника. От него можно спеть звук в два раза выше частотой (на октаву выше). Это сделать достаточно просто. Но ведь на двух звуках много песен не споёшь, Нужно в этом частотном интервале определить ещё какие-нибудь ноты. В принципе, можно петь на любой частоте, можно хоть на 20 частей октаву поделить, но не все звуки будут красиво сливаться с основным тоном. Надо как-то выбрать музыкальный строй — принцип частотных соотношений между музыкальными звуками, то есть, собственно, определить количество звуков и установить частотные соотношения между ними. Тогда музыка будет звучать красиво.
Задача определения звуков в октаве называется темперацией. Эту задачу Пифагор решил следующим образом:
● 1 звук: тоника, частота f, нота.. пусть будет ДО
● 2 звук: вторая гармоника от тоники, 2f, нота.. тоже ДО, но на октаву выше.
Остальные звуки должны располагаться по частоте между f и 2f
● 3 звук: берём третью гармонику от тоники, частота 3f. Это много. Делим пополам, получаем 3/2*f. Нота СОЛЬ.
● 4 звук: а давайте умножать и делить несколько раз на 2 или на 3 основную частоту?? А ещё у нас уже есть 3/2*f, умножим на 3, получим 9/2*f. Это как-то очень высоко, поделим на два и ещё раз на два, чтобы попасть в заданный интервал. Получаем звук 9/8*f, нота РЕ.
И так далее:
● 5 звук: 27/16*f, нота ЛЯ
● 6 звук: 81/64*f, нота МИ
● 7 звук: 4/3*f, нота ФА
● 8 звук: 243/128*f, нота СИ
В общем, можно было бы ещё больше нот напихать, но получается жесть: чем больше знаменатель дроби, тем сложнее эту ноту на инструменте выстроить. А ещё особенность человеческого слуха такова, что нам нравятся звуки, отношение частот которых выражается относительно небольшими целыми числами, такие комбинации двух звуков называются консонансами. Если же числа в числителе и знаменателе дроби получаются большими, то мы получаем диссонанс, он неприятен человеческому слуху.
Так что нота СИ первая пошла под нож. Да и отмерять 128 частей от 243 — задача неимоверно сложная. Впрочем, ноту МИ постигла на первых порах подобная участь.
И осталось у нас пять звуков:
ДО - - - РЕ - - - ФА - - - СОЛЬ - - - ЛЯ
Называется подобный ряд замечательным словом пентатоника, которая использовалась (используется) во многих народных ладах. Петь легко, настроить инструмент легко..
Итак, получили мы следующее деление октавы на звуки:
ДО : 1f
РЕ : 9/8*f,
МИ : 81/64*f
ФА : 4/3*f
СОЛЬ : 3/2*f
ЛЯ : 27/16*f
СИ : 243/128*f,
ДО : 2*f
Вроде бы всё хорошо, если бы всё не было так плохо. А именно: когда музыка стала многоголосной, то выяснилось, что некоторые звуки, взятые одновременно, звучат ужасно.
Небольшое отступление: расстояние между двумя нотами называется интервалом:
● расстояние от любой ноты до самой себя называется примой: до-до, ре-ре, ми-ми, фа-фа...
● интервал между двумя соседними нотами — секунда: до-ре, ре-ми, ми-фа...
● расстояние через ноту — терция: до-ми, ре-фа, ми-соль, фа-ля...
● кварта: до-фа, ре-соль, ми-ля, фа-си, соль-до, ля-ре...
● квинта: до-соль, ре-ля, ми-си...
● секста: до-ля, ре-си, ми-до...
● септима: до-си, ре-до, ми-ре, фа-ми...
● октава: до-до, ре-ре, ми-ми...
Чтобы понять, почему так происходит, построим табличку с нашими звуками и их гармониками до пятой включительно:
Если мы споём терцию до-ми, то она будет звучать фальшиво. Внимательно смотрим на табличку: четвёртая гармоника от МИ есть 81/16 от частоты ДО, а пятая гармоника от ДО есть 80/16. Эти обертоны вступают в конфликт, мы слышим биения и нам это не нравится. Внимательно посмотрите на табличку: ноты РЕ, ФА, СОЛЬ не имеют особо больших цифр в числителях и знаменателях и более-менее красиво звучат с тоникой, а вот с нотами МИ, ЛЯ и СИ надо что-то делать. Поэтому был предложен так называемый чистый строй, который получается при настройке с использованием пятых гармоник, а именно:
● Ноты РЕ, ФА и СОЛЬ настраиваем по Пифагору.
● Нота МИ: берём пятую гармонику от ДО (5*f) и делим её на 4. Получаем 5/4*f
● Нота ЛЯ: берём пятую гармонику от ФА (20/3*f) и делим её на 4. Получаем 5/3*f
● Нота CИ: берём пятую гармонику от СОЛЬ (15/2*f) и делим её на 4. Получаем 15/8*f
Получаем следующее деление октавы:
ДО : 1f
РЕ : 9/8*f,
МИ : 5/4*f
ФА : 4/3*f
СОЛЬ : 3/2*f
ЛЯ : 5/3*f
СИ : 15/8*f,
ДО : 2*f
Настроить инструмент теперь стало ГОРАЗДО легче, потому что в самом наихудшем случае нам надо частоту поделить на 8, а не на 128, как в строе имени Пифагора.
А что у нас получилось с интервалами?? Давайте построим две таблички и внимательно на них посмотрим:
Мы видим, что некоторые интервалы превратились из диссонансов в консонансы. И наоборот. У Пифагора все терции — диссонансы, в чистом строе же большинство терций — консонансы.
Но самая жесть в том, что появилась нехорошая квинта от ноты Ре, да и две кварты стали звучать ужасно. Что привело в дальнейшем к большим проблемам в инструментальной музыке.
Упростим и формализуем немного:
Строй Пифагора можно получить, умножая опорную частоту на (3/2)^N и "загоняя" получившиеся ноты в интервал от f до 2f путём умножения или деления получившихся частот на 2^k (смещение ноты по октавам)
Будем иметь ноты:
● (3/2)^1 = 3/2*f
● (3/2)^2 = 9/4, делим на 2, получаем 9/8*f
● (3/2)^3 = 27/8, делим на 2, получаем 27/16*f
● (3/2)^4 = 81/16, делим на 4, получаем 81/64*f
● (3/2)^5 = 243/32, делим на 4, получаем 243/128*f
● (3/2)^(-1) = 2/3, умножаем на 2, получаем 4/3*f
Интервал, в котором частоты соотносятся как 3/2, как мы узнали раньше, называется квинтой. Собственно, пифагорейский строй порождается интервалами октавы и квинты, (2:1 и 3:2), так что этот строй ещё называют "настройка предела 3" (3-limit tuning)
Итак, мы поделили нашу октаву на несколько звуков.
Давайте теперь cведём данные наших нотах в таблицу. Чтобы не мучиться с дробями, некий Александер Джон Эллис придумал некую безразмерную логарифмическую единицу для выражения отношения двух частот и назвал её цент. Две частоты с разницей в один цент соотносятся, как
f1 / f2 = 2^(1/1200) = 1,0005777895
Соответственно, отношение частот, выраженное в центах, вычисляется по формуле:
n = 1200 * log2(a/b)
Таблица с отношением частот нот к опорной частоте ДО (в долях и центах):
Интервалы ну совсем неравномерные. Намётанный математический глаз видит, что между, например, ДО и РЕ можно бы впихнуть ещё ноту..
И ведь так оно и есть!! Семи нот не очень хватает, ведь пятые гармоники есть у ВСЕХ нот в этом ряду. Помните, как мы получали чистый строй?? Брали пятые гармоники от нот и пытались их «впихнуть» в интервал от f до 2f. Так люди сделали, и вот что у них получилось:
● Пятая гармоника от РЕ: 9/8 умножаем на 5 и делим на 4, получается 45/32
● Пятая гармоника от МИ: 405/256 и 25/16 в пифагоровом и чистом строях соответственно.
● Пятая гармоника от ФА: 4/3 умножаем на 5 и делим на 4. Получается.. ээ, 5/3, это ж практически нота ЛЯ!!
● Пятая гармоника от СОЛЬ: 3/2 умножаем на 5 и делим на 4. Получается.. ээ, 15/8, да это ж СИ!!
● Пятая гармоника от ЛЯ: 135/128 и 25/24 в пифагоровом и чистом строях соответственно.
● Пятая гармоника от СИ: 1215/1024 и 75/64 в пифагоровом и чистом строях соответственно.
Обозначим новые ноты старыми названиями, но добавим к ним знак повышения — диез.
Между ЛЯ и СИ осталось место. Попробуем впихнуть туда ноту?? Это должны быть либо квинта вверх от РЕ# (225/128*f), либо кварта вверх от ФА (16/9*f).. и всё, трындец..
Появился «плохой» интервал РЕ# - ЛЯ#. Если ЛЯ# = 225/128*f, то отношение частот ЛЯ# к РЕ# будет 1024/675.
Если ЛЯ# = 16/9*f, то отношение частот ЛЯ# к РЕ# будет нормальным, но получится другая гадость: в интервале ЛЯ# - ФА будет такая же жопа.
И как ни колдуй с этими интервалами, всё равно фиг настроишь так, чтобы все интервалы звучали хорошо.
Да и вообще, в этом «чистом» строю, если посмотреть внимательно на табличку с интервалами, присутствует ужасная квинта от ноты РЕ. Эту квинту называли словом Wolfsquinte — волчья квинта. И от неё никак не избавиться. Проще не использовать.
И вот ведь ещё косяк: если инструмент настроен от ноты ДО, то поменять во время игры тональность уже не получится, придётся весь перенастраивать. А попробуй-ка быстро перенастроить рояль, не говоря уж об органе..
Некий Андреас Веркмейстер придумал более-менее равномерную темперацию, но всё равно, некоторые тональности звучали не очень хорошо.
И тогда все плюнули и тупо поделили октаву СОВСЕМ равномерно. На 12 ступеней. Каждый звук отличается от предыдущего по частоте в корень 12 степени из 2 раз.
Всё.
Да, ВСЕ интервалы перестали быть акустически чистыми, терции вообще стали плохонькими. Но ради простоты настройки, простоты транспозиции (т.е. смены тональности всего произведения. можно было, например, вместо того, чтобы играть в тональности ДО сместиться на четыре ступени вверх и играть в тональности МИ), простоты модуляции (смена тональности в части произведения) на это тупо забили. Частоты нот теперь можно стало стандартизировать, за опорную частоту приняли частоту ноты ЛЯ первой октавы, условились считать её равной 440 Гц. Значения частот остальных нот рассчитали и занесли в таблицу. Хорошо ли стало?? Ну, в какой-то степени хорошо, но у равномерной темперации были и есть свои противники..