Алгебра⁠⁠

Последовательность (пример на чётных числах): 2, 4, 6, 8

Число последовательности - a

Член послед*вательности с номером n (n-й член послед*вательности) - An

Последовательность (An):

Бесконечная последовательность - последовательность с бесконечным числом членов

Конечная последовательность - последовательность с конечным числом членов

Чтобы указать последовательность, надо указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым числом

Последовательность задают с формулой n-го члена последовательности

Последовательность An = 2n (формула последовательности чётных чисел)

Последовательность Bn = 1/n + 1 (формула последовательности правильных дробей с числителем равным 1)

Последовательность H = n/n + 1 (формула последовательности дробей стремящихся к 1)

Последовательность An = 2n - 1 (формула последовательности нечётных чисел)

Последовательность Dn = n² (формула последовательности квадратов натуральных чисел)

Последовательность En = n³ (формула последовательности кубов натуральных чисел)

Последовательность Fn = 2N (формула последовательности степеней двойки)

Последовательность G = (-1)n (формула знакочередующейся последовательности)

Как решать задачи типо "Известно, что (Cn) - последовательность, все члены которой с нечётными номерами равны 1, а с чётными = 0. Выпишите первые 8 членов этой последовательности. Найдите C10, C25":

C10 = 0 (ведь 10 - чётное число), C25 = 1 (ведь 25 - нечётное)

2k+1 - тут это нечётное число, значит 1

Как решать задачи типо "Пусть (An) - последовательность квадратов натуральных чисел. Выпишите первые 10 членов этой последовательности. Найдите A20, An":

An = n3, n принадлежит N, следовательно A20 = 20² = 1400, An = 1² = 1

Арифметическая прогрессия - последовательность, каждый член которой, начиная со 2, равен предыдущему члену, сложенным с 1 и тем же числом. Иначе говоря, последовательность (An) - арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие An + 1 = An + d, где d - некоторое число (разность арифметической прогрессии). Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым её членом, начиная со 2 и предыдущим числом = d, следовательно при любом натуральном n верно рав*нство An + 1 - An = d

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность. Приведём примеры:

Если a1 = 1, d = 1, то выходит: 1, 2, 3, 4, 5

Если a1 = -1, d = 2, то выходит: 1, 3, 5, 7, 9

Если a1 = -2, d = -2, то выходит: -2, -4, -6, -8, -10

Если a1 = 7, d = 0, то выходит: 7, 7, 7, 7, 7

Лёгкий способ для нахождения члена прогрессии с большим чем 1 знаком, зная первый член и разность арифметической прогрессии:

A2 = A1 + D

A3 = A2 + D = (A1 + D) + D = A1 + 2D

A4 = A3 + D = (A1 + 2D) + D = A1 + 3D

A5 = A4 + D = (A1 + 3D) + D = A1 + 4D

Чтобы найти An, надо к A1 прибавить (n - 1)d, следовательно An = a1 + d (n - 1)

- вот так выглядит формула n-го члена арифметической прогрессии

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, что подтверждает, следующее утверждение:

An - An-1 = An+1 - An, следовательно 2An = An-1 + An+1, следовательно An = An-1 + An+1/2

Если в последовательности (An) каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность - арифметическая прогрессия, что подтверждает, следующее утверждение:

В выражении из предыдущего равенства, а именно в An = An-1 + An+1/2 число n больше 2, следовательно 2An = An-1 + An+1, следовательно An = A1 + d (n - 1), что допустимо записать как An = dn + (A1 - D). Отсюда подтверждается следующее утверждение:

Любая арифметическая прогрессия бывает задана формулой An = Kn + B, где K и B - некоторые числа.

Последовательность (An), заданная формулой вида An = Kn + B, где K и B - некоторые числа, являются арифметической прогрессией, что подтверждает, следующее утверждение:

Найдя разность (n + 1)-го и n-го членов последовательности (An), выходит: An+1 - An = K (n + 1) + B - (Kn + B) = Kn + K + B - Kn - B = K

Как найти 50-й член в задании типо "Последовательность (Cn) - арифметическая прогрессия, в которой C1 = 0,62, D = 0,24. Найдите 50-й член этой прогрессии":

C50 = 0,62 + 0,86 × (50 - 1) = 12,38

Как решать задачи типо "Выпишите Первые 5 членов арифметической прогрессии (An), если

A1 = 30, D = -10":

A1 = 30, D = -10, следовательно A2 = 20, A3 = 10, A4 = 0, A5 = -10 (ведь по формуле, например: A2 = A1 + D)

Как решать задания типо "Последовательность (Bn) - арифметическая прогрессия, 1 член которой = B1, а Разность = D. Выразите через B1 и d B7":

B7 = B1 + D (7 - 1) = B1 + 6D, ведь B7 = B1 + D (n - 1) по формуле

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

Как выполнить задачу "Требуется Найти Сумму первых 100 натуральных чисел":

Запишем S (искомую сумму последовательности) дважды, в 1 случае - в порядке возрастания, во 2 - в порядке убывания:

S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100

S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1

Каждая пара чисел (как показано на шаблоне записи S), находящихся друг под другом ж = 101, например, 1 + 100 = 101, 2 + 99 (лежащие друг под другом ж) = 101. Всего таких пар - 100, следовательно, сложив равенства почленно:

2S = 101 × 100. S = 101 × 100/2 = 5050

Обозначим сумму первых n членов арифметической прогрессии (An) через Sn и запишем эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором случае - порядке убывания:

Sn = A1 + A2 + A3 + A4 + ... + An-1 + An

Sn = An + An-1 + An-2 + An-3 + ... + A2 + A1. - су*ма каждой пары членов прогрессии под другом равна A1 + An, действительно:

A2 + An-1 = (A1 + D) + (An - D) = A1 + An

A3 + An-2 = (A2 + D) + (An-1 - D) = A2 + An-1 = A1 + An

Так как число таких пар = n, то сложив почленно суммы Sn, выходит: 2Sn = (A1 + An)n/2

Как решать задания типо "найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150)":

A1 = 1, An = 150. Следовательно n = 150. А так как 75 = половина 150, то S = 75. Следовательно S75 = A1 + An/2 × 150 = 11325