Ответ SmplA в «Проблемы силы тяжести и свободного падения»
"Вторая проблема квадрата радиуса. С этим вообще трудно." Трудно только автору-лжеученому. Потому что радиус в формуле нужно меритьмежду центрами масс двух тел.
Это неверно. Радиус в формуле нужно мерить между точечными массами. Если взаимодействуют распределенные тела, то формула (в общем) не будет верна ни с расстояниями между телами, ни с расстоянием между центрами масс, ни с расстоянием между геометрическими или какими-либо еще центрами тел.
Надо честно разделить эти тела на такие фрагменты (по сути "физически бесконечно малого объема"), чтобы их размеры были гораздо меньше расстояния до другого тела. Просуммировать все посчитанные по формуле для закона всемирного тяготения силы, которые действуют со стороны таких фрагментов второго тела на рассматриваемый фрагмент первого. Получились итоговые силы, действующие со стороны второго тела на каждый фрагмент первого тела. А дальше можно просуммировать их и сказать, что так действует второе тело на первое. А можно учесть взаимодействие фрагментов первого тела друг с другом и посчитать напряжения, деформации, течения, которые вызывает второе тело в первом.
В общем, всё это сложно, и вовсе там не простая формула с расстоянием между центрами масс.
Но есть два облегчающих дела обстоятельства.
Первое: если одно из тел имеет сферически симметричное распределение массы (когда тело - шар, плотность которого зависит только от расстояния до центра), то можно математически показать, что гравитационное воздействие его на любую точечную массу, находящуюся вне, такое же, как если б вся масса шара была сосредоточена в центре. Например, две планеты, неважно, далеко они или почти соприкасаются, взаимодействуют так, будто это две точечные массы, расположенные в центрах планет.
Но для круглой планеты и огромного тела сложной формы это уже неверно: круглая планета действует на каждый фрагмент второго тела так, будто вся масса планеты сосредоточена в ее центре, но для второго тела это неверно. В итоге получается, что центр тяжести второго тела не совпадает с его центром масс (и зависит от взаимного положения планеты и тела: меняется с отдалением, с поворотом).
Второе обстоятельство такое. Примем предыдущее допущение: что первое тело - со сферически симметричным распределением массы. Например, планета. И новое допущение: что второе тело - гораздо меньше расстояния до центра масс первого. Например, самолёт. Неважно, меньше ли самолёт тело, чем расстояние до планеты, ведь из предыдущего пункта мы знаем, что вся планета, пусть мы даже стоим на её поверхности, действует так, будто ее масса расположена в центре. Самолет и на аэродроме, и в небе расположен на расстоянии тысяч км от центра Земли, а вся Земля действует так, будто она и сосредоточена в своём центре. Размер самолета гораздо меньше радиуса Земли.
Получается вот что. На какие фрагменты самолёт ни дели, Земля тянет его с векторной силой, почти пропорциональной массе фрагмента. Сила, действующая на граммовый кусочек правого крыла и левого, на участок хвоста и колеса, направлена чуть-чуть по-разному и чуть-чуть разная по величине, потому что расстояние и направление на центр Земли у этих фрагментов разный. Но разница пренебрежимо мала, на масштабе самолета её даже специально уловить приборами будет очень трудно. На масштабе многоэтажки или железнодорожного состава проще, но для школьных задач по физике и там разница будет пренебрежима.
Именно в этом приближении у тел есть фиксированный центр тяжести, совпадающий с центром масс. Именно в этих предположениях тела взаимодействуют так, будто их массы сосредоточены в центрах инерции: важно, что первое тело имеет сферически симметричную плотность, а второе тело гораздо меньше первого.
Первое допущение полезно именно из-за того, что в законе всемирного тяготения зависимость от расстояния - обратный квадрат (это следует из теоремы Остроградского - Гаусса). Если б там была другая степень, то сферическая симметрия плотности планеты не означала бы, что сила, действующая на точечную массу со стороны планеты, была бы такой, будто вся масса планеты в её центре. Тогда вблизи поверхности планеты форма и расположение второго тела влияли бы на итоговую силу тяжести.
Например, кирпич у поверхности бесформенной кометы Чурюмова - Герасименко не будет притягиваться так, будто вся его масса сосредоточена в центре масс, потому что комета не сферическая (и кирпич тоже).
И стол на астероиде в "Маленьком принце" тоже не имеет определенного центра тяжести, потому что хоть астероид и шарообразный и действует так же, как точечная масса, но стол не мал по сравнению с размерами астероида.



