Недавно в горячем был пост, где в комментах много умничали, так что я тоже хочу. Думаю, многим интересно, что за ебала тут происходит и как это вообще возможно. Для начала следует пояснить, что формула из поста - частный случай более общей формулы, имеющей вид e^(ix) = cos(x) + i*sin(x). В неё мы вместо x поставляем pi и вуаля, мнимый синус уходит, а косинус схлопывается в единицу. Но подождите, откуда взялась эта-та формула? С ней тоже интересно. В математике есть такая вещь, как разложение в ряд Тейлора. Если очень упрощённо, то мы некую величину представляем в виде бесконечного ряда слагаемых, каждое их которых, в идеале, меньше предыдущего. Например, мы можем вычислить значение экспоненты, разложив её в ряд вида exp^x = 1 + x^n / n!, где n - номер члена. То есть экспонента в степени 1 равна 1 + 1/1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + ... И хитрые математики заметили, что косинус и синус, если их разложить в такие ряды (см. картинку), могут схлопнуться и дать почти экспоненту. Почему почти? Потому что в экспоненте все члены положительные, а у синуса и косинуса -- знакопеременные. И что же делать? Вместо того, чтобы снимать штаны и бегать, они засунули в степень экспоненты мнимую единицу, и всё сошлось, потому что мнимая единица, возведённая во 2 или 4 степень, превращается в обычный минус, обеспечивая тем самым знакопеременность. Правда, на неё ещё пришлось умножить синус, иначе не сходилось. Как-то так. На сегодняшний день эта красота используется при описании периодических процессов, например, электромагнитных волн (в том числе и света).
Недавно в горячем был пост, где в комментах много умничали, так что я тоже хочу.
Думаю, многим интересно, что за ебала тут происходит и как это вообще возможно.
Для начала следует пояснить, что формула из поста - частный случай более общей формулы, имеющей вид e^(ix) = cos(x) + i*sin(x). В неё мы вместо x поставляем pi и вуаля, мнимый синус уходит, а косинус схлопывается в единицу. Но подождите, откуда взялась эта-та формула?
С ней тоже интересно. В математике есть такая вещь, как разложение в ряд Тейлора. Если очень упрощённо, то мы некую величину представляем в виде бесконечного ряда слагаемых, каждое их которых, в идеале, меньше предыдущего. Например, мы можем вычислить значение экспоненты, разложив её в ряд вида exp^x = 1 + x^n / n!, где n - номер члена. То есть экспонента в степени 1 равна 1 + 1/1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + ...
И хитрые математики заметили, что косинус и синус, если их разложить в такие ряды (см. картинку), могут схлопнуться и дать почти экспоненту. Почему почти? Потому что в экспоненте все члены положительные, а у синуса и косинуса -- знакопеременные. И что же делать? Вместо того, чтобы снимать штаны и бегать, они засунули в степень экспоненты мнимую единицу, и всё сошлось, потому что мнимая единица, возведённая во 2 или 4 степень, превращается в обычный минус, обеспечивая тем самым знакопеременность. Правда, на неё ещё пришлось умножить синус, иначе не сходилось. Как-то так.
На сегодняшний день эта красота используется при описании периодических процессов, например, электромагнитных волн (в том числе и света).