Волки и зайцы в графиках и портретах⁠⁠

Бывает такое, что гениальные вещи приходят на ум сразу двум людям. Как это происходит? Почему им? Ответа нет. Зато в результате такой мозговой деятельности американский и итальянский математики предложили модель взаимодействия «хищник - жертва». Они не стали спорить и ругаться насчет того, кто их них гениальнее, детище их размышлений носит имя обоих: уравнение Лотки – Вольтерра.

Ну есть хищники, ну есть жертвы. Чего тут такого-то? Если, конечно, это не хищники из серии одноименных фильмов. Подумаешь. Вроде бы очевидно, что хищник поедает жертв, на то они и жертвы. Однако, даже такие, несколько спонтанные явления можно объяснить математически.

Рассмотрим самый простой вариант. В роли хищника будут волки, в роли жертвы – зайцы. Зайцам хватает растений. Все животные живут на ограниченной территории, но трава успевает отрастать, так что ушастые не бедствуют. А теперь уберите от экрана женщин, детей и слабонервных. Начинаем мы с того, что количество зайцев относится к количеству волков 3:1. Система живет, зайцы прыгают, а волка ноги кормят. Обе популяции растут и радуются их гипотетической жизни. Затем численность хищников достигает некоторой цифры, они, как и любые организмы, питаются, численность зайцев идет на убыль. Дело все в том, что потребление становится так велико, что популяция просто не успевает восстановиться. Кстати говоря, не вся энергия переходит хищникам от зайца, а только 10%, поэтому один волк ест несколько зайцев. Так как еды становится мало, то вполне логично, что и хищники начинают гибнуть. Продолжается это до тех пор, пока количество жертв не сможет выйти на тот уровень, что популяция росла. До сего момента хищники убывают. Зато потом в рост идут и волки, и зайцы. И вот популяции снова растут, солнце светит, жизнь прекрасна. А потом волков становится много, они едят зайцев, зайцев становится мало, волки тоже мрут. Где-то Вы это уже видели? Я скажу Вам где: несколько строчек назад. Не то чтобы это день сурка, просто развивается все циклично.

А как это вообще связано с компьютером? Программа, в которую вбивают данные для уравнения Лотки – Вольтерра может построить графики, которые, собственно, и донесут мое повествование. Увидеть можно график функции, фазовый портрет, который представляет из себя концентрические замкнутые кривые вокруг стационарной точки, и фазовую траекторию – тот же фазовый портрет, только 3D ( см. графики 1)

Кроме такой идеализированной системы, могут быть внесены правки. Например, можно добавить элемент конкуренции внутри одного вида. Случалось ли Вам забрать последнюю печеньку из пачки? А волки могут друг друга и загрызть. А зайцы могут употребить свое же потомство. Такова жизнь. Зато картина выходит интереснее. На графике функции колебания не одинаковы, их амплитуда убывает до некоторого количества так, как убывает число хищников и жертв, потому что внутривидовая конкуренция дополнительно снижает численность каждого вида до тех пор, пока количество и тех, и других не придет к какому-то числу, при котором животные могут разбрестись по территории так, что внутривидовая конкуренция не будет так сильно их уничтожать. На фазовом портрете это будет выглядеть не как замкнутая кривая, а как то, что мы видим, сливая воду, все будет стремиться к этой стационарной точке, точке равновесия и покоя. (см графики 2)

Если бы стартом нашей гипотетической системы была как раз-таки стационарная точка, то все было бы наоборот: популяции бы росли. На графике функции амплитуды бы увеличивались с течением времени, а на фазовом портрете прямая бы не закручивалась в центр, а раскручивалась из него, иллюстрируя рост популяций. (см. графики 3)

Существуют и другие модели, которые не так восприимчивы к переменам. Такой является модель Холлинга – Тэннера. Если бы мы взяли другое отношения жертв к хищникам, например, их было бы поровну, то система бы стремилась вернуться в устойчивое состояние. С течением времени, зайцев по отношению к волкам стало бы 3:1. Будь у нас ровно два зайца и два волка, то одному хищнику бы явно не хватило жертв. Зато зайцы быстро размножаются. Несмотря на то, что их поедают, популяция все равно бы успевала вырасти. А потом система бы пришла к тому, что описывалась ранее. На графике мы бы увидели увеличение амплитуды, а затем ровные, одинаковые периоды. А на фазовом портрете у таких моделей есть предельные циклы. Прямая бы раскручивалась от точки 2;2 до этого предельного цикла. А прямая из стационарной точки 3:1 скручивалась бы к циклу. (см. графики 4)

Если принять, что в уравнении параметры не константы, а коэффициенты, зависящие от числа жертв, то картина будет иной. Возьмем два параметра, которые обратно зависят друг от друга. Пусть это будет насыщаемость хищника и скорость его размножения. Если насыщаемость высокая, то зайцев нужно меньше. Так как между параметрами обратная зависимость, то потомства у волков производится медленно. Обе популяции тогда будут постепенно уменьшаться до стабилизации на каком-то ненулевом уровне. На графике амплитуда будет уменьшаться, в конце будет практически ровной прямой. Фазовый портрет проиллюстрирует то же самое: прямая будет скручиваться к некоторой ненулевой стабильной для системы точке. (см. графики 5)

Вот так вот, глядя на графики можно «читать» целую историю популяций. Это весьма захватывающе. Интересно то, что модели можно использовать не только по отношению к животным, но и к экономике, политике, бизнесу. Можно даже устроить гадание на графиках по уравнению Лотки – Вольтерра. Ну чем не альтернатива кофейной гуще? Даже достовернее.