Помогите решить задачу, граждане
Вот есть у меня пол литра колы и 250мл водки. Если я выпью половину колы и залью туда водку, то соотношение будет 1:1.
Так вот, а если я этого делать не буду, и просто отопью колы, плесну туда водки, на сколько отпил, потом опять отопью и опять же плесну, отопью и плесну, отпил - плеснул и т.д.
Какое будет соотношение колы и водки на когда я вылью, таким образом, весь фунфырик?
Объем колы обозначим за V, объем водки - за v.
Пусть отпит объем dV колы. Буду считать, что этот объем стремится к нулю. Остается V-dV колы, к ней добавляется dV водки. Концентрация водки получается dV / (V - dV + dV) = dV / V.
Следующим шагом будет отпит снова объем dV, но на этот раз не колы, а смеси с концентрацией dV/V. После добавления dV водки концентрация будет:
(dV/V * (V - dV) + 1 * dV) / V = (dV - dV^2/V + dV) / V = (2dV - dV^2/V) / V
Так как dV стремится к нулю, элемент порядка 2 можно сразу отбросить, и останется только 2dV/V
Следующим шагом отпито dV с концентрацией 2dV/V, а концентрация новой смеси будет:
(2dV/V * (V - dV) + 1 * dV) / V = (2dV - 2dV^2/V + dV) / V = (3dV - dV^2/V) / V ≈ 3dV/V
Можно заметить, что после каждого отпива концентрация увеличивается линейно, как k*dV/V. Продолжаться это будет до тех пор, пока не закончится водка, т.е. пока не станет выполняться n*dV = v.
Тогда для получения значения объема выпитой водки нужно вычислить сумму:
0 * dV + dV/V * dV + 2 *dV/V * dV + ... + (n-1)*dV/V * dV = (1 + 2 + ... + (n-1)) * dV^2/V = ...
Сумма натуральных чисел от 1 до m равна m(m+1)/2, в нашем случае m = n-1:
... = n(n-1)/2 * dV^2/V = ...
Подставим n = v/dV из выражения выше
... = v/dV(v/dV - 1)/2 * dV^2/V = (v^2/dV^2 - v/dV)/2 * dV^2/V = (v^2 - v*dV)/2 * 1/V = ...
Снова отбрасываем множитель с dV, так как он стремится к нулю
... = (v^2)/2 * 1/V = v^2/(2V)
Это, напомню, объем выпитой водки. Для получения концентрации нужно ее разделить на общий выпитый объем, т.е. v. То есть получится значение v/(2V).
С конкретными значениями 500 мл колы и 250 мл водки получится концентрация водки 1/4, то есть соотношение водки к коле будет 1:3.
Вроде так, если нигде не накосячил. Мб можно и сократить выкладки, но я просто писал, как на душу легло) И это расчет для бесконечно малых глотков, для глотков существенного объема ответ будет другим и, полагаю, более громоздким.