Очерёдность карт в 52-карточной колоде никогда не повторяется⁠⁠

Вернее так: практически невероятно, что очерёдность карт в 52-карточной колоде (состояние колоды) хоть когда-нибудь повторится при перемешивании, если результат перемешивания случайный.

Я увидел это утверждение в интернете и решил перепроверить сам, понятными мне методами и в понятных мне числах.

Чтобы оценить, насколько верно это утверждение нужно сначала вычислить вероятность выпадения единственного конкретного состояния колоды. Она равна 1/КоличествоВозможныхСостояний, т.е. 1 /(52!) (Единица делить на 52-факториал) ≈ 1 / (8 * 10^67)

Если мы совершаем последовательные перемешивания, то после первого перемешивания (первый исход) вероятность повторения, т.е. вероятность выбросить нулевое состояние колоды равна 1/52!

Вероятность повторения на втором исходе равна вероятности выбросить нулевой или первый исход, равна 2/52!

Вероятность повторения на третьем исходе равна вероятности выбросить нулевой или первый или второй исход, равна 3/52!...

Мы видим, как с количеством перемешиваний увеличивается вероятность того, что результат перемешивания будет совпадать с одним из прошлых результатов - из-за того, что прошлых результатов становится больше.

Но мы хотим оценить вероятность выбросить повтор за какое-то количесто исходов, а имеем пока только вероятности выбросить повтор на каждом конкретном исходе. Нужная нам вероятность (например вероятность выбросить повтор за 10 исходов) будет равна вероятности выбросить повтор на первом исходе, плюс вероятность выбросить повтор на втром исходе, плюс вероятности выбросить повтор на третьем исходе и т.д.

Т.е. вероятность выбросить повтор за один раз = 1/52!

вероятность выбросить за два перемешивания, в первом или втором исходе = 1/52! + 2/52!

за три перемешивания = 1/52! + 2/52! + 3/52! и так далее.

Получаем, что вероятность равна:

1/52! + 2/52! + 3/52! ... N/52! =

= (1+2+3+...+N) / 52!

где N - количество исходов

Т.е. чтобы получить вероятность выбрасывания повтора хотя бы 0.001 (0.1%) нам нужен числитель равный 52!/1000 а это достижимо за 4*10^32 исходов.

Остаётся оценить насколько велико это число.

Возраст Земли оценивается современными учёными в 4.5 * 10^9 лет. Это составляет 1.42 * 10^20 миллисекунд. Это уже приличное число получается, если в течение возраста Земли мы будем тасовать колоду по 1000 раз в секунду.

Прикинем, сколько раз нужно это повторить, чтобы получить 4 * 10^32 исходов.

(4 * 10^32) / (1.42 * 10^20) = 9.5 * 10^12

Много ли это? Давайте поделим на это число длину экватора и посмотрим, какими шагами нужно по нему идти, чтобы набрать нужное число за один оборот.

40 000 км / (9.5 * 10^12) = 4.2 * 10^(-9) км = 4.2 микрон.

Итак, идя по экватору 4.2-микронными шагами (лист бумаги для принтера ≈ 100 микрон) мы делаем круг по экватору. Сделав шаг мы останавливаемся и тасуем колоду 1000 раз в секунду в течение возраста Земли. Затем делаем новый микро-шаг и опять тасуем  4,5 млрд лет. По окончании нашей кругосветки мы будем иметь 0,1%-ную вероятность того, что пока мы шли совпадение случилось.