Безумные шляпники
Давайте сейчас рассмотрим пример, приведённый в книге Кена Бинмора.
Шляпники из страны чудес делают цилиндры из картона. Так как шляпники безумны, они считают свой труд бесплатным, и поэтому функция производства включает в себя только картон в качестве входных данных. Чем больше шляпники делают шляп, тем больше они торопятся и тратят всё больше и больше картона на каждую шляпу.
Точная производственная функция для количества шляп определяется уравнением: a= sqrt(r) (sqrt - обозначение квадратного корня, наверняка знакомое программистам).
Это значит, что из r листов картона шляпник может сделать a=sqrt(r) шляп. Например, для изготовления одной шляпы потребуется всего один лист картона, а вот для двух шляп – уже 4.
Алиса является монополистом в шляпном бизнесе. Картон можно приобрести на один евро за лист, и поэтому один цилиндр обойдется в 1 доллар, а вот 2 – уже в 4. Таким образом, функция общей стоимости может быть выражена, как c(a)= a^2.
Если Алиса продаёт шляпы по цене p евро за каждую, то её прибыль после продажи a шляп будет равна π=a∙p-a^2.
Чтобы узнать, как получить как можно больше прибыли, Алисе нужно знать, сколько шляп (a) она сможет продать, если она будет продавать по цене p евро. Логично, что чем дешевле вещь, если она не является жизненно необходимой, тем больше её будут покупать. В стране чудес эта информация задается уравнением спроса: 30 = a∙p.
После подстановки получим, что π=30-a^2, а, значит, прибыль будет максимальной, если она продаст всего одну, но зато очень дорогую шляпу.
Классический монополист задаёт цену сам, он имеет полную власть над ней. Торговцы на совершенно конкурентном рынке продают товар по сумме, близкой к стоимости производства, то есть, издержкам – ибо цена уменьшается для оттягивания на себя доли рынка.
Какое отношение имеет к этому примеру теория игр? А вот сейчас мы это узнаем.
Предположим, что в страну чудес попал ещё один шляпный бизнесмен. Например, пусть это будет Фантомас.
Пусть Алиса производит a шляп, а Фантомас – b шляп. Тогда каждая шляпа будет продана за p = 30/(a + b) евро. Если и Алиса и Фантомас будут пытаться максимизировать только свою прибыль, то что они получат?
Упростим задачу – пусть каждый из участников рынка думает только о выборе между одной или двумя шляпами для производства.
В таком случае, мы можем составить платёжную матрицу получившейся игры.
В дуополии, Алиса и Фантомас попытаются получить вместе побольше денег и, если оба сделают только по одному цилиндру, то есть, в общей сложности только два цилиндра, каждый из них получит прибыль в размере 14 евро.
Тем не менее, обычно игроки пытаются максимизировать свою собственную индивидуальную прибыль. И вот тут-то и возникает дилемма заключенных. Тут всегда сильно доминирует изготовление двух шляп. В результате каждый получает всего по 11 евро.