А теперь о вещественных числах⁠⁠

В посте было написано про десятичные бесконечные дроби. А теперь давайте разберемся как устроены вещественные числа. Мой опыт показывает, что хотя школьники и умеют с ними работать, но мало кто знает конструкцию. Иногда в рамках курса математического анализа дают некоторое представление в ВУЗе, но часто пробегают по верхам. Этот пост может быть интересен тем, кто понимает что такое предел, знает что такое рациональные числа, но упустил в свое время конструкцию чисел вещественных.

Я знаю три разный конструкции построения вещественных чисел. Первый это через работу изначально с десятичными дробями, но при всей наглядности он мне кажется наиболее тяжелым. Второй через сечения Дедекинда. Это довольно интересная конструкция, но говорить я буду про третий путь. А именно через фундаментальные последовательности.

Вот вам ссылочка на википедию. Там более или менее неплохо написано и есть ссылки на литературу для глубокого погружения.

Давайте для начала оговоримся, что начинаем мы с рациональных чисел. Рациональные числа обладают следующими свойствами: их можно складывать, вычитать, умножать, делить на ненулевое рациональное число. Относительно операции сложения и умножения они образуют поле. Также это поле имеет отношение линейного порядка, согласованное с умножением, и норму (функция модуль). Надеюсь, что и определение предела последовательности для вас знакомо. Далее немножко картинок, ибо пикабу не умеет в латех

Указанные на картинке проверки не очень сложные, но их крайне полезно сделать для понимания, если хотите разобраться. Например, вообще говоря, сразу может быть не очевидно, почему есть деление на ненулевой элемент.

В вики плюс-минус эта схема описана.

Дальше, можно вводить и бесконечные десятичные дроби как представитель конкретного класса. Или сечения Дедекинда. Потом можно показать, что для вещественных чисел критерий Коши работает, то есть любая фундаментальная вещественная последовательность имеет вещественный предел, и в целом развивать классический матан как мы его знаем.