101 игра нa python. Информатика. Системы счисления⁠⁠

Статья из серии 101 игра на python, где я публикую разбор кода учебного репозитория для делающих первые шаги в разработке на python и просто любителей хорошего кода. В репозитории находится сборник программ и игр, написанных лёгким языком, по которым ты можешь изучать код.

Системы Счисления

1. Абстрактная система счисления

На важно, как обoзначать числа, можно использовать любой набор символов, главное, чтобы они соответствовали прaвилам:

• Основание (базис): Это количество уникальных символов (цифр), которые мы используем. Обозначим основание как b.

• Цифры: Это символы, которые мы используем для представления чисел. Обычно это арабские цифры (0, 1, 2, 3, ...), латинские(I,II,II,..), но могут быть и другие символы. Например:

• Позиция: Каждая цифра в записи числа имеет свою позицию, которая влияет на её значение.

• Разряды: Каждая позиция называется разрядом (например, единицы, десятки, сотни и т.д.)

Как строится система счисления?

1. Выбор основания: Выбираем целое число b, которое будет основанием нашей системы.

2. Выбор цифр: Нам нужно b уникальных цифр. Обычно это 0, 1, 2, ..., b-1.

3. Запись числа: Число записывается как последовательность цифр. Значение каждой цифры умножается на основание, возведенное в степень, равную ее позиции (начиная с 0 справа).

Формула для расчета значения числа:

Если у нас есть число, записанное в виде последовательности цифр dₙ dₙ₋₁ ... d₁ d₀, то его значение в десятичной системе можно вычислить по формуле:

значение = dₙ * bⁿ + dₙ₋₁ * bⁿ⁻¹ + ... + d₁ * b¹ + d₀ * b⁰

Где:

• dᵢ - цифра в i-ом разряде

• b - основание системы счисления

• i - номер разряда (справа налево, начиная с 0)

Пример:

Предположим, у нас есть число 123 в десятичной системе (основание 10). По формуле:

1 * 10² + 2 * 10¹ + 3 * 10⁰ = 100 + 20 + 3 = 123

Порядки счисления (разряды):

Порядки, как мы уже говорили, это позиции цифр в числе, каждая позиция имеет свой вес, который определяется основанием в степени ее порядкового номера.

• d₀: единицы (b⁰)

• d₁: b (b¹)

• d₂: b²

• d₃: b³

• и так далее

Правила:

1. Диапазон цифр: Используются цифры от 0 до b-1.

2. Позиционный принцип: Значение цифры зависит от её позиции.

3. Переход к следующему разряду: Когда в разряде достигается значение b, происходит перенос в следующий разряд (аналог того как после 9 в десятичной системе прибавляется 1 к следующему разряду и получается 10)

Груши - яблоки:

• 🍎 (яблоко)

• 🍐 (груша)

• 🍉 (дыня)

• 🧺 (корзинка)

Правила:

1. 3 🍎 = 1 🍐

2. 5 🍐 = 3 🍉

3. 2 🍉 = 1 🧺

Представление чисел:

Мы будем представлять количество фруктов в виде строки, где каждый символ юникода соответствует одному фрукту. Например, "🍎🍎🍎" - это 3 яблока, а "🍉🍉" - это 2 дыни.

Арифметические операции:

Примеры:

Разъяснение кода:

1. normalize_fruits(fruits): Эта функция преобразует строку с фруктами к минимальному виду. Она сначала считает количество каждого фрукта, а затем, используя правила обмена, преобразует их к более крупным единицам (яблоки в груши, груши в дыни, дыни в корзины), после преобразования склеивает обратно в строку с минимальным набором фруктов.

2. add_fruits(fruits1, fruits2): Эта функция выполняет сложение двух строк с фруктами. Она просто конкатенирует две строки и затем нормализует результат.

3. sub_fruits(fruits1, fruits2): Это функция для вычитания одной строки фруктов из другой. Она преобразует всё в "количество яблок" и затем выполняет вычитание, а потом обратно переводит яблоки в нормализованный вид, при этом проверяет возможность вычитания.

4. Примеры: В конце кода приведены примеры сложения и вычитания с различными комбинациями фруктов и выводом результатов.

Задания:

1. Попробуй добавить в код функцию для умножения фруктов на целое число (например, multiply_fruits(fruits, n)).

2. Реализуй функцию compare_fruits(fruits1, fruits2), которая сравнивает две строки с фруктами и возвращает "больше", "меньше" или "равно".

3. Придумай свои собственные правила обмена фруктов и модифицируй код под них.

4. Добавь проверку на корректность входных данных (чтобы строка состояла только из разрешенных символов юникода)

5. Реализуй более продвинутое вычитание, например, не выдавать ошибку "Невозможно вычесть", а выводить результат со знаком минус (усложненное задание).

2. Конкретные системы счисления

Теперь давай рассмотрим конкретные примеры систем счисления и поработаем с ними.

2.1. Двоичная (бинарная) система (основание 2)

• Цифры: 0, 1

• Используется в компьютерах: Все данные в компьютерах представлены в двоичном коде (битах).

Пример:

• Число 1011₂ (читается как "один ноль один один по основанию 2"). Перевод в десятичную систему:
  1 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

2.2. Троичная система (основание 3)

• Цифры: 0, 1, 2

• Интересна в теории: Применяется в некоторых областях математики и информатики.

Пример:

• Число 210₂ (читается как "два один ноль по основанию 3"). Перевод в десятичную систему:
  2 * 3² + 1 * 3¹ + 0 * 3⁰ = 18 + 3 + 0 = 21₁₀

2.3. Семеричная система (основание 7)

• Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

• Менее распространена: Используется в некоторых узких областях, например, в некоторых системах кодирования.

Пример:

• Число 345₇ (читается как "три четыре пять по основанию 7"). Перевод в десятичную систему:
  3 * 7² + 4 * 7¹ + 5 * 7⁰ = 147 + 28 + 5 = 180₁₀

2.4. Десятичная система (основание 10)

• Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

• Повседневная: Самая распространенная система, которую мы используем каждый день.

Пример:

• Число 789₁₀. Перевод в десятичную систему: (смысла нет, это и есть десятичное)
  7 * 10² + 8 * 10¹ + 9 * 10⁰ = 700 + 80 + 9 = 789₁₀

2.5. Шестидесятиричная система (основание 60)

• Цифры: 0-59 (в практическом применении используются комбинации символов)

• Историческая: Использовалась в Древнем Вавилоне, а сейчас для измерения времени (часы, минуты, секунды) и углов.

Пример:

• Представим число 25:30:15₆₀ (25 градусов, 30 минут, 15 секунд) или
  25 * 60² + 30 * 60¹ + 15 * 60⁰ = 25 * 3600 + 30 * 60 + 15 * 1 = 90000 + 1800 + 15 = 91815₁₀ (общее число секунд)

3. Задания

Задание 1:

Переведи следующие числа из одной системы в другую:

• 11011₂ в десятичную

• 201₃ в десятичную

• 563₇ в десятичную

• 45₁₀ в двоичную

• 34₁₀ в троичную

• 150₁₀ в семеричную

Задание 2:

Придумай свою собственную систему счисления с основанием, например, 5 (пятеричная). Запиши несколько чисел в этой системе и переведи их в десятичную.

Задание 3:

Реализуй функции для перевода из десятичной системы в двоичную, троичную, семеричную и обратно (как в примерах выше)

Задание 4:

Напиши функцию для сложения двух двоичных чисел, представленных в виде строк. (Усложненное)

Задание 5:

Попробуй перевести какое-то время в секунды, представленное в виде "ч:м:с" в десятичную систему и обратно.

Советы:

• Практикуйся в переводах. Чем больше ты тренируешься, тем лучше будешь понимать принципы систем счисления.

• Не бойся экспериментировать. Попробуй создавать свои собственные системы счисления.

• Используй Python для проверки своих решений и автоматизации перевода.

Запустить код в google colab

Посмотреть на github

Другие шпаргалки

Серия «101 игра на python»

Удачи!