На 0 делить нельзя потому, что иначе нарушатся законы арифметики, а именно единственности умножения которые мы постулировали до того.
Спойлер для ЛЛ: на 0 нельзя делить потому, что если обозначить 1/0 = ∞ (некоторое специально очень большое значение, именно так до этого создали из натуральных чисел целые, а потом из целых чисел рациональные) то выяснится, что эта ∞ не является числом.
(0) Предположим, что мы в детском саду, изучаем деление и думаем что если 1 разделить на 0 - получится такое особое большое число ∞: "1 / 0 = ∞", "2/0 = 2*∞", "3/0 = 3*∞"... Покажем, что детсадовские рассуждения не верны и к чему это приведёт.
(1)На столе лежат 6 яблок, вы за раз можете забрать 2. Сколько вам потребуется подходов? Правильно 3. 6 / 2 = 3.
(2) На столе лежит 1 яблоко, вы за раз можете забрать 0. Сколько вам потребуется подходов забирая 0 яблок, чтобы забрать со стола всё? Э... ну нисколько не хватит - предположим такое очень-очень большое число бесконечность ∞. 1 / 0 = ∞.
(3) На столе лежат 6 яблок, вы за раз можете забрать 0. Сколько вам потребуется подходов? Э... ну нисколько не хватит - ну формально пусть будет шесть бесконечностей. 6 / 0 = 6 * 1 / 0 = 6 * ∞. (3.1)
А для 5 яблок - формально будет 5 бесконечностей. 5 / 0 = 5 * 1 / 0 = 5 * ∞. (3.2)
.... вроде пока всё верно так?
(4) Давайте внимательнее посмотрим что вообще значит 1 / 0 = ∞, это значит, что мы можем перейти от деления к умножению: ∃с: (a / b = c) => (a = b * c), тогда
*) я вообще не очень понимаю как это 5-му классу сказать про транзитивность (=), ассоциативность (*) - вероятно надо оставить за скобками.
6 = 6 * 1 = 6 * (0 * ∞) = 6 * 0 * ∞ = 0 * ∞ = 1.
(5) Так стоп ерунда получается. Как такое возможно?
Ответ - такое возможно только если наше изначальное предположение (что результат 1/0 = ∞ является числом) не верно, т.е. ∞ числом не является. Вот тогда законы умножения, которые верны для чисел, на ∞ не распространяются и никакого "парадокса" нет.
ИТОГО:
на 0 нельзя делить потому, что даже если формально записать "1/0 = ∞", этот значение ∞ ведёт себя очень странно, и числом не является.
===========================================================
Мне тут предлагают поменять определение на
На ноль делить нельзя потому что в поле вещественных чисел для числа 0 обратный элемент по отношению к умножению не определен однозначно.
Мне этот ответ не нравится.
Потому, что это определение вообще ничего не говорит о том, что происходит.
А если мы напишем "1/0 = ∞" ∞ - не число и попробуем посмотреть что происходит, то происходит дофига всего интересного
- мат-анализ, если мы ограничимся пределами
- колесо и IEEE 754 https://ru.wikipedia.org/wiki/Колесо_(алгебра) https://ru.wikipedia.org/wiki/IEEE_754-2008) - если мы ∞ определим как "одно значение"
- теория бесконечно больших и малых чисел (вроде бы это будут бесконечные ординалы) - если мы попробуем то, что получилось считать "специальными числами".
ПС2
На чуть более фундаментальном уровне:
- на 0 делить нельзя потому, что с делителем 0 невозможно построить поле. т.е. появится семейство функций бесконечно порождающих новые множества (вроде это будут множества бесконечных ординалов и им обратных):
- f1 :: R -> R_∞; f1(x) = x / 0 -- что будет если записать все объекты от деления на 0?
- что f2 :: R_∞ -> R_0; f2(x) = 0 * (0 * x) -- что будет если биективно отразить все бесконечности в 0?
- f3 :: R_0 -> R_∞∞; -- что будет если уже эти R_0 отразить в бесконечность?
.......
Если вы можете объяснить почему так на каком-то фундаментальном уровне (просто написать что будет я и сам могу), почему какие-то сочетания операций порождают "хорошие" самозамкнутые структуры, а какие-то нет - то добро пожаловать в комменты объяснять мне.
Если вы можете только жонглировать терминами из теории поля - ну я книжку и сам могу открыть.
