Ответ randomnik в «Если есть свободное время, то можете нарисовать треугольник Серпинского»4
Как ещё один математик-любитель, вставлю свои пять копеек :) Как справедливо заметил автор, остался нераскрытым такой вопрос: почему наши точки покрывают красную зону равномерно? Если мы будем бросать "нечестную" игральную кость, то картинки будут совсем другие:
Здесь мы выбираем левый нижний угол всего в 1 случае из 10. И сразу же ощущение "сдохшего картриджа" :) А если брать левый нижний угол в 1 случае из 100, получится вообще вот так:
Но далеко не всегда неравные вероятности портят результат. Например, в "папоротнике Барнсли" (см. https://en.wikipedia.org/wiki/Barnsley_fern - на русской вики удивительно мало текста) это не баг, а фича (картинка оттуда же, из википедии):
Вообще, процесс на видео называется "Игра хаоса" (https://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_game). О том, почему это работает, достаточно кратко написано вот здесь: https://core.ac.uk/download/pdf/82248898.pdf . Но это доказательство достаточно формальное и не даёт, на мой вкус, понимания сути происходящего. Для этого нужно погрузиться в теорию эргодичности (https://ru.wikipedia.org/wiki/Эргодичность). Она же даёт нам ответ на вопрос "А почему, собственно, мы имеем право рассуждать о поведении молекул газа или жидкости с помощью статистики и вероятностей, если отдельные молекулы ведут себя предсказуемо и подчиняются второму закону Ньютона?" Но про эргодичность я практически ничего не знаю, засим и откланиваюсь :)