Пост носит развлекательно–познавательный характер.
Все вычисления выполнены в Wolfram Mathematica 12.0.
Теперь к "вечным" вопросам "Является ли 0 натуральным числом?" (и да, и нет) и "Действительно ли 0.(9) равно 1?" (да) можно добавить вопрос "Чему равен ∛(–8)?" (и сослаться на авторитет Wolfram Mathematica).
P.S. Если кому-то понадобится:
√ ∛ ∜ 𝕚 ·x⁰¹²³⁴⁵⁶⁷⁸˙⁹⁺⁻ᐟ˙ᐧ⁼⁾⁽ⁿ
x₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉₊₋₌₎₍
В каком смысле "всегда есть"? Это какое-то конкретное число? Если да, то чему оно равно? Я не имею в виду, что для каждого элемента ряда всегда найдётся такое число – это очевидно. Я имею в виду вполне определённое число, которое строго больше одновременно всех чисел в этом ряду, но при этом строго меньше 1. Имеет ли это какое-то отношение к равенству (или неравенству) записей 0.(9) и 1.(0) как действительных чисел – это уже другой вопрос.
Да, к сожалению, запись 0.(0)1 некорректна – ей не отвечает ни одно действительное число, т.к. в скобках содержится бесконечное количество нулей, и у нас нет последнего нуля, после которого мы могли бы поставить единицу. Здесь нужны более строгие методы. Но, в общем и целом, вы (в некотором смысле) рассуждаете в правильном направлении.
Да, концепция бесконечности с трудом укладывается в рамки здравого смысла – ей просто нет аналогий в повседневной жизни. Тем не менее, мы вполне строго можем определить число, которое больше всех натуральных чисел (и назвать его, например, ω). Тогда обратное ему число ε = 1/ω будет меньше любого положительного действительного числа (сколь мало бы оно ни было), но при этом строго больше 0. Тогда, как это ни удивительно, существует число α = 1–ε, которое строго меньше 1, но при этом строго больше любого числа из множества {0, 0.9, 0.99, 0.999, ...}. В общем и целом, это показывает, что претензии противников равенства 0.(9) = 1.(0) не так уж безосновательны (хоть это никак и не влияет на то, что записи 0.(9) и 1.(0) обозначают одно и тоже действительное число).
Такие числа можно ввести вполне строго. Например, так: пусть вначале у нас ничего нет, и в день 0 мы имеем только одно число: 0 = { | } (что означает эта конструкция, станет понятно чуть позже). Тогда в день 1 мы можем построить 2 числа: 1 = {0| } и –1 ≠ { |0}, т.е. непосредственно следующее за нулём и непосредственно предшествующее ему. На следующий день (день 2) наши возможности уже шире: мы можем построить числа 2 = {0, 1| }, –2 = { |–1, 0}, а также числа 1/2 = {0|1} и –1/2 = {–1|0) (теперь логика обозначений, думаю, уже понятна). Так мы последовательно строим целые (положительные и отрицательные) числа и дроби (со знаменателями, равными степеням 2). Наконец, в день ω мы можем построить вполне конкретное однозначно определённое число, большее всех натуральных чисел: ω = {1, 2, 3, 4, ...| } – здесь слева до вертикальной черты стоит множество всех натуральных чисел, а число ω – первое, которое появляется после них. И в этот же день появляется ещё одно число: ε = {0|1, 1/2, 1/4, 1/8, ...} – оно находится между нулём и любой дробью вида 1/2ⁿ (и тоже является вполне определённым). Но эти числа уже не являются действительными (поэтому к обоснованию равенства 0.(9) = 1.(0) их, вообще говоря, привлекать нельзя). Джон Конвей (он их придумал) называл их просто числа, а Дональд Кнут дал им название сюрреальные (surreal numbers). У Кнута есть книга, которая так и называется – если интересно, на рутрекере она имеется и в оригинале, и в переводе.
Лига математиков
1.2K постов2.6K подписчика