Господа Пикабушники⁠⁠

а это perplexity, глубокая задумчивость. при этом при простой обработке просто 4 см выдал.

это тоже дипсик, формулировка вопроса была более точная.

Расчёт минимальной толщины стенки металлического шара при замерзании воды

При замерзании вода расширяется примерно на 9%, что создаёт значительное давление на стенки содержащего её сосуда. Для металлического шара, полностью заполненного водой, необходимо рассчитать минимальную толщину стенки, которая выдержит это давление без разрушения.

Исходные данные

Внутренний объём шара: V = 0.001 м³ = 1 дм³

Объёмный модуль упругости воды: K = 2.2×10⁹ Па

Коэффициент расширения воды при замерзании: 9%

Предел текучести конструкционной стали: σ_доп = 250×10⁶ Па (250 МПа)

Этапы расчёта

1. Определение внутреннего радиуса шара

Объём сферы выражается формулой:
V=43πr3V=34πr3

Отсюда внутренний радиус:
r=(3V4π)1/3=(3⋅0.0014π)1/3≈0.0620 мr=(4π3V)1/3=(4π3⋅0.001)1/3≈0.0620 м

2. Расчёт давления при замерзании воды

Давление, создаваемое при расширении воды, можно оценить через объёмный модуль упругости:
p=K⋅ΔV/V=K⋅0.09=2.2×109⋅0.09=198×106 Па=198 МПаp=K⋅ΔV/V=K⋅0.09=2.2×109⋅0.09=198×106 Па=198 МПа

Это давление значительно превышает атмосферное (0.1 МПа) и приближается к пределу текучести многих металлов.

3. Определение минимальной толщины стенки

Для расчёта используем формулу для тонкостенной сферической оболочки, находящейся под внутренним давлением:
σ=p⋅r2tσ=2tp⋅r

где:

σ - напряжение в стенке (не должно превышать предел текучести)

p - внутреннее давление

r - внутренний радиус

t - толщина стенки

Преобразуя формулу относительно t и подставляя предел текучести стали:
tmin⁡=p⋅r2⋅σдоп=198×106⋅0.06202⋅250×106≈0.0246 м≈2.5 смtmin=2⋅σдопp⋅r=2⋅250×106198×106⋅0.0620≈0.0246 м≈2.5 см

Заключение

Минимальная толщина стенки стального шара внутренним объёмом 1 дм³, который не разрушится при замерзании содержащейся в нём воды, должна составлять не менее 2.5 см.

Важно отметить, что данный расчёт предполагает равномерное распределение напряжений и идеальную сферическую форму. На практике рекомендуется использовать коэффициент запаса прочности 1.5-2.0, что увеличит требуемую толщину стенки до 3.7-5.0 см.

но есть и выводы покруче. мне кажется, это тот случай, когда либо надо делать с большим запасом, либо находить результат эмпирическим путём..

Минимальная толщина стенки стального шара
Для решения задачи рассмотрим следующие шаги:

Расширение воды при замерзании
Вода увеличивает объём на 9%, поэтому объём льда:

Vлёд=1 дм3×1.09=1.09 дм3=0.00109 м3.Vлёд=1 дм3×1.09=1.09 дм3=0.00109 м3.

Исходный радиус шара
Объём шара: V=43πr3V=34πr3.
Для V=1 дм3=0.001 м3V=1 дм3=0.001 м3:

r1=3×0.0014π3≈0.062 м=6.2 см.r1=34π3×0.001≈0.062 м=6.2 см.

Радиус после расширения
Для V=0.00109 м3V=0.00109 м3:

r2=3×0.001094π3≈0.0638 м=6.38 см.r2=34π3×0.00109≈0.0638 м=6.38 см.

Разница радиусов:

Δr=r2−r1≈0.0018 м=1.8 мм.Δr=r2−r1≈0.0018 м=1.8 мм.

Напряжение в стенке шара
Используем закон Гука:

σ=E⋅Δrr1,σ=E⋅r1Δr,

где E=200 ГПаE=200 ГПа (модуль Юнга стали).

σ=200×109⋅0.00180.062≈5.8 ГПа.σ=200×109⋅0.0620.0018≈5.8 ГПа.

Это значение превышает предел текучести стали (σyield≈250 МПаσyield≈250 МПа), поэтому шар лопнет.

Учёт сжатия льда
Давление PP, создаваемое льдом:

P=K⋅ΔVV,P=K⋅VΔV,

где K=8.8 ГПаK=8.8 ГПа (модуль сжатия льда).

P=8.8×109⋅0.000090.001=792 МПа.P=8.8×109⋅0.0010.00009=792 МПа.

Расчёт толщины стенки
Напряжение в стенке:

σ=P⋅r12t.σ=2tP⋅r1.

Приравняем к пределу текучести:

t=P⋅r12σyield=792×106⋅0.0622⋅250×106≈0.098 м=9.8 см.t=2σyieldP⋅r1=2⋅250×106792×106⋅0.062≈0.098 м=9.8 см.

Ответ:
Минимальная толщина стенки стального шара должна быть ≈10 см, чтобы выдержать давление расширяющегося льда.

Расчёт минимальной толщины стенки металлического шара при замерзании воды

При замерзании вода расширяется примерно на 9%, что создаёт значительное давление на стенки содержащего её сосуда. Для металлического шара, полностью заполненного водой, необходимо рассчитать минимальную толщину стенки, которая выдержит это давление без разрушения.

Исходные данные

Внутренний объём шара: V = 0.001 м³ = 1 дм³

Объёмный модуль упругости воды: K = 2.2×10⁹ Па

Коэффициент расширения воды при замерзании: 9%

Предел текучести конструкционной стали: σ_доп = 250×10⁶ Па (250 МПа)

Этапы расчёта

1. Определение внутреннего радиуса шара

Объём сферы выражается формулой:
V=43πr3V=34πr3

Отсюда внутренний радиус:
r=(3V4π)1/3=(3⋅0.0014π)1/3≈0.0620 мr=(4π3V)1/3=(4π3⋅0.001)1/3≈0.0620 м

2. Расчёт давления при замерзании воды

Давление, создаваемое при расширении воды, можно оценить через объёмный модуль упругости:
p=K⋅ΔV/V=K⋅0.09=2.2×109⋅0.09=198×106 Па=198 МПаp=K⋅ΔV/V=K⋅0.09=2.2×109⋅0.09=198×106 Па=198 МПа

Это давление значительно превышает атмосферное (0.1 МПа) и приближается к пределу текучести многих металлов.

3. Определение минимальной толщины стенки

Для расчёта используем формулу для тонкостенной сферической оболочки, находящейся под внутренним давлением:
σ=p⋅r2tσ=2tp⋅r

где:

σ - напряжение в стенке (не должно превышать предел текучести)

p - внутреннее давление

r - внутренний радиус

t - толщина стенки

Преобразуя формулу относительно t и подставляя предел текучести стали:
tmin⁡=p⋅r2⋅σдоп=198×106⋅0.06202⋅250×106≈0.0246 м≈2.5 смtmin=2⋅σдопp⋅r=2⋅250×106198×106⋅0.0620≈0.0246 м≈2.5 см

Заключение

Минимальная толщина стенки стального шара внутренним объёмом 1 дм³, который не разрушится при замерзании содержащейся в нём воды, должна составлять не менее 2.5 см.

Важно отметить, что данный расчёт предполагает равномерное распределение напряжений и идеальную сферическую форму. На практике рекомендуется использовать коэффициент запаса прочности 1.5-2.0, что увеличит требуемую толщину стенки до 3.7-5.0 см.

Может потому что условия задачи весьма неопределенные? ) Начиная с того, что конструкционные стали бывают разные и расчеты могут отличаться. Ну и сам смысл задачи вызывает сомнения. Если вода перейдет в твердое состояние, то объём увеличится, как ни крути. Что означает словосочетание в твоем вопросе "не лопнет"..? Стенки растянутся без нарушения герметичности? Кроме того, вообще возникает вопрос.. а при какой температуре вода замерзнет в таких условиях.. По-видимому, значительно ниже нуля. И что произойдет с прочностью стали в тех условиях. Имеет ли задача смысл в принципе..

Словом, хочешь точнее ответы, внятнее формулируй вопросы )