Факторионы - что это за числа ? Их всего четыре в природе

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Вы наверняка знакомы с понятиям факториала натурального числа, который равен произведению всех чисел, не превосходящих данное. Например:

Факторионы - что это за числа ? Их всего четыре в природе Математика, Интересное, Образование, Наука, Познавательно, Длиннопост

Однако, американский математик Клиффорд Пиковер в 1995 году ввёл смежное понятие "факторион". Согласно его определению, факторионом называется число, которое равно сумме факториалов своих цифр.

Все, кто немного понимает в математике, сразу догадался, что факторионов, скорее всего, очень мало, ведь функция факториала несоизмерима по росту со сложением.
Факторионы - что это за числа ? Их всего четыре в природе Математика, Интересное, Образование, Наука, Познавательно, Длиннопост
Хотя такая задача известна еще с середины годов 20 века, именно Пиковер непосредственно ввёл определение.

Итак, факторионов всего 4. Первые два - тривиальные - это 1 и 2. Третий и четвертый мне нравятся намного больше:

Факторионы - что это за числа ? Их всего четыре в природе Математика, Интересное, Образование, Наука, Познавательно, Длиннопост

Невероятно, не правда ли? С другой стороны, это настолько крутые математические совпадения, что их не может быть много. Действительно, возьмем любое число из n цифр:

Факторионы - что это за числа ? Их всего четыре в природе Математика, Интересное, Образование, Наука, Познавательно, Длиннопост

Например, 10001 больше, чем 10 в степени 4 и тд
С этим понятно, а что с суммой факториалов цифр? Очевидно, что максимум будет при числе, состоящем из одних девяток, тогда:

Факторионы - что это за числа ? Их всего четыре в природе Математика, Интересное, Образование, Наука, Познавательно, Длиннопост

Из курса математики известно, что экспоненциальные функции возрастают быстрее, чем линейные, и числам-факторионам уже не бывать, когда первое число обгонит второе. Этот момент наступает уже при n=8:

Факторионы - что это за числа ? Их всего четыре в природе Математика, Интересное, Образование, Наука, Познавательно, Длиннопост

Следовательно, все факторионы состоят не более, чем из 7 цифр.

Как Вы уже поняли, простым перебором других кандидатов найти не удалось.

Кроме того, выделяют:


факторионы первого рода - равные произведению факториалов своих цифр. Таких, к сожалению, пока всего двое - 1 и 2.


факторионы второго рода - при сложении факториалов можно комбинировать цифры, из которых состоит число. Например, число 2 432 902 008 177 819 519, которое равно сумме факториалов всех цифр и выделенного в центре числа 20.


Больше интересной математики в телеграмм - "Математика не для всех"