Задача на разность квадратов и группировки⁠⁠

Предложу задачу из известного задачника, которую можно решать перед сном вместо снотворного. Если не получится сразу, то к утру решение созреет. Выглядит она так:

4x·(x + √(x² – 1))²
───────────
(x + √(x² – 1))⁴ – 1

На первый взгляд — чистый ангел для школьника, что готовится к ЕГЭ. Четвёртая степень? Корень внутри скобки? Всё это — в знаменателе, где ошибаться нельзя, иначе ОДЗ может убить на месте. Естественная реакция — взять ручку и раскладывать степени. Не получится.

В чём подвох? В том, что всё выражение — не про вычисления, а про внимание. В нём один и тот же кусок встречается несколько раз и это зацепка:

x + √(x² – 1)

Мы его не трогали. Мы даже не вводили t вместо него (хотя могли бы). Мы просто заметили: «Ага, ты тут опять». И начали смотреть на структуру — как на LEGO-конструктор, а не как на бетонную стену.

Попробуйте для развлечения порешать эту задачу не досматривая видео. Кто постарше - вместо кроссвордов или судоку хорошо.

Мораль:
Если в примере всё «взрывается» сложностью — остановись. Посмотри на структуру. Очень часто авторы задач не хотят тебя убить, а просто дают возможность почувствовать себя Шерлоком: «Ага, опять ты, x + корень!»

И да — не надо метаться и возводить всё в степень подряд. Алгебра — не бокс, где победит тот, кто сильнее бьет. Это больше похоже на танго: нужно чувствовать партнёра (в данном случае — выражение) и не наступать ему на ноги.