раскрыть ветку (5)
Имеешь в виду - That's? Вот нам товарищи тут и подскажут. Вроде часто встречаются надписи без апострофа
раскрыть ветку (4)
раскрыть ветку (1)
Ммммм.. По-моему нет. Именно в таком контексте звучит как That's. Аналогично That's my boy. С гордостью как бы. В английском не силен, так что могу ошибаться.
насколько помню, у Англичан неодушевленные животные. Или не правильней было бы This dog is mine?
раскрыть ветку (1)
Да все правильно. Если дословно переводить, то получится "то моя собака". Мы так говорим редко, поэтому правильно будет, как сказано выше про гордость, "моя собака".