Немного теории вероятности⁠⁠

В ответ на пост http://pikabu.ru/story/6_tryukov_statistiki_kotoryie_pokazhu...

Вообще, я просто бешусь от всяких научно популярных передач, где вместо того, чтобы ОБЪЯСНИТЬ человеку почему данные явления происходят -- красочно ПОКАЗЫВАЮТ их, вместо с тем ничего не объясняют, пытаясь прикрыться общими словами, намеренно убирая любые вычисления и вообще относятся к зрителю как к идиоту. Все это проистекает от неумения объяснять и, зачастую, непониманием самим автором того, что он хочет объяснить. Но данный пост просто подорвал мою жёппу и заставил почти на каждой строчке подносить руку ко лбу, а иногда и вовсе желание дать автору по щщам. Как говорится, не умеешь -- не берись. Но пост вышел в горячее и я не могу не поправить его. Ну, довольно прелюдий. Начнём.

А начну я, пожалуй, не с разбора самого поста, а с пары, скажем так, пояснений. Далее я не буду везде уточнять, но буду считать, что все события, коль мы рассматриваем именно математические модели, будут иметь одинаковую вероятность. То есть, это будут идеальные модели. К примеру, в мире может рождаться больше мальчиков, чем девочек, но мы будем считать, что вероятность их рождения одинакова. Итак, разберем первый пункт аффтора того поста.

1. Первый пункт -- перемешивание колоды карт. Вероятность совпадения двух колод действительно крайне мала(файер резист ведь xD). Поразительно, но по первому пункту вопросов нет. Факториал растёт быстрее любой степени. Так что здесь все окей.

2. Второй пункт и сразу наступает пиздец. Второй вопрос, пожалуй, самый сложный. И нормально объяснить будет не легко. Кратко суть -- есть несколько параллельных линий, расстояние между которыми пусть будет "2а". И иголки длины L. Сразу уточню, "несколько" и "прямые" по количеству и длине должны быть такие, чтобы наши иголки точно попадали на наше размеченное поле. Иначе, никакой "магии" не будет) Далее мы бросаем наши иголки на поле и смотрим сколько же из них пересекли прямые. И делим на это число количество всех бросков. В итоге число будет стремится к пи, если жлина иголок ровно в два раза короче расстояния между линиями, но я решил жля полноты разобрать общий случай, благо это не слишком усложняет восприятие текста. В пояснениях автор написал какую-то чушь, разбирать которую тут мне просто лень. В чем же на самом деле суть? Давайте представим себе декартову систему координат(две оси -- икс и игрек, прям как в школе рисовали). И отметим себе квадрат 1х1. С вершинами в точках (0,0), (0,1), (1,0), (1,1). И отметим квадрат со сторонами в два раза больше. То есть с вершинами в точках (0,0), (0,2), (2,0), (2,2). И будем выбирать рандомно два числа. Икс и игрек соответственно. Но не просто случайные числа. А от нуля до двух включая. Каквя вероятность, что наша точка с данными координатами попадет в маленький квадрат? Так как он по площади в 4 раза меньше, то вероятность будет *Площадь маленького квадрата / *Площадь большого квадрата(для тех, кто немного в теме -- мера нужной фигуры, деленная на меру фигуры, куда попадают точки). Это вроде бы всем очевидно и понятно. Теперь перейдем к наших иголкам и прямым. Сейчас будет самый сложный момент, приготовтесь. Иголку можно так же определить двумя координатами -- её центром и углом поворота относительно прямых(они параллельны, а значит угол одинаков относительно любой из них). Так как длина иголки ровно в два раза меньше расстояния между прямыми, то куда бы не попала иголка, её центр будет не дальше, чем на "а" от ближайшей прямой(напомню, расстояние между прямыми "2а"). То есть, если расстояние до ближайшей прямой больше "а", то значит данная прямая не ближайшая, так как до другой будет менее, чем "а", а все иголки на поле. Теперь небольшая иллюстрация того, как будет расположена иголка относительно прямой и очертим радиус пересечения с прямой относительно угла поворота. Замечу так же, что мы разбираем вероятность для некоторого выбранного падения, а не для всех сразу.

Надеюсь, все понимают откуда тут появился синус? Если да, то самое сложное в посте закончилось, можете выдохнуть. Если нет, то могу пояснить в комментариях, но надеюсь это не потребуется. Теперь считаем площадь заштрихованной части. Не забываем, что, хоть тут и нарисована полуокружность, такая же полуокружность есть и с другой стороны. Все помнят формулу площади круга? пи квадрат*L/2. L делим пополам, так как у нас бралась середина иглы. Площадь квадрата пи*a, где "а" у нас половина расстояния между иглами. Вспоминает формулу вероятности, которую я написал выше и получаем пи квадрат*L/пи*a = пи*L/а. А так как расстояние между иглами "2а" и оно в два раза больше L, то L = а и вероятность равно пи. Фуф, самый обширный пункт был. Если кто устал читать, то я успокою -- дальше совсем просто будет)

3. Условие довольно большое, чтобы сильно не утолщать расскажу кратко. Один игрок загадывает комбинацию из трёх орлов и решек. Допустим орёл решка орёл

Мы меняем первый элемент на противоположный. То есть орёл на решку, а далее пишем первые два элемента. То есть у нас получится решка орёл решка. И тогда если мы будем подкидывать монету до того момента, пока один из игроков победит, то вероятность победы второго игрока очень велика. Почему? Потому что если первому игроку не повезёт, и в первые три броска он не побеждает, то мы всегда будем на шаг впереди. Проще говоря -- наша победная комбинация начинается раньше всегда и соответственно закончится раньше, так как мы начинаем комбу с фэйла комбинации первого игрока. Наш же аффтор предложил монетку кидать ВСЕГО 3 РАЗА. Думаю, всем понятно, что за 3 броска шансы у всех всегда равны.

4. Тут все верно, но пояснение отвратительное.  Оно двусмысленное. Внесу ясность. К примеру, у нас в мешке лежат 4 шарика. Два синих и два красных. Мы вытягиваем два одновременно, то есть БЕЗ УЧЕТА ПОРЯДКА. Вероятность шариков разного цвета 1/2. Двух синих 1/4 и двух красных тоже 1/4. Мы вытянули два шара. Открыли один и увидели, что он синий. Что мы имеем? Есть 2 возможности. Мы вытянули два синих или вытянулись разноцветные. Вероятность двух синих, как уже было сказано, 1/4. А разноцветных 1/2. Тогда вероятность двух синих вытянутых 1/3. Как вы уже догадались, синие шары -- мальчики, красные девочки. Если же мы теперь тянем шары ПО ПОРЯДКУ. Вытянули два. И нам говорят -- первый шар синий. Тогда вероятность разноцветных шаров не учитывается вместе. Есть красный-красный, красный-синий, синий-красный, синий-синий. Тогда вероятность того, что второй шар синий уже 50%, так как у нас уже осталось всего две комбинации и они равновероятны. С той же аналогией мальчиков и девочек все понятно.

5. Парадокс дней рождений.

Вот это фэйл похлеще, чем с монетами. Аффтор даже не понял, что написал. Вероятность совпадения вашего дня рожденя и дня рождения рандомного чувака из коллектива равна 1 - (364/365)^*Количество чуваков в коллективе . То есть, даже в коллективе из 365 человек и даже из миллиона  вероятность совпадения ваших дней рождений НЕ 100%. Ну к примеру, собрался миллион людей с днем рождения в мае. А у вас в июле. Все. А вот если мы будем говорить не о конкретно чьем-ниубдь дне рождении, а о просто совпадении дней рождений у людей в коллективе, то тут вероятность уже в разы выше. Почему же так происходит и почему же аффтор написал ересь? Потому что мы в данном случае сравниваем дни рождения у между случайно выбранным и остальными, а не только между собой и остальными. А значит каждое неудачно сравнение закрывает одну дату. Закрыв все 365 дат -- 366 человеку деваться некуда и он точно попадёт в уже закрытую дату. Но это не объясняет столь высокой вероятности. А дело вот в чем. Закрыв первую дату из 365 -- вторая убирает уже одну из 364 дат. Третья одну из 363, и с каждым разом вероятность будет все выше. Считаем вероятность для первой даты. 1 - (1 - 1/365). Для второй 1 - (1 - 1/365)*(1 - 2/365). Далее алглриьм понятен. Каждая скобка -- вероятность фэйла на данном закрытии. Почему вероятность перемножается, думаю, объяснять не надо?

6. Пункт довольно общий и верный пояснять не надо.

В итоге можно было бы сказать, что парень старался и в общем и целом молодец. Если бы он не просто копипастил с других сайтов, даже не подумав. Это первый пост, так что я бы разнообразие его картиночками, да не знаю какими)) Сильно не ругайтесь. Надеюсь этот информация была для вас интересной, а прекрасный мир математики и теории вероятности стал чуть ближе и интереснее.