Парадокс Росса-Литтлвуда: Когда бесконечность противоречит интуиции
Парадокс Росса-Литтлвуда, также известный как проблема шаров и вазы, — это удивительный пример того, как работа с бесконечностью может приводить к неожиданным и противоречивым результатам. Этот мысленный эксперимент, предложенный математиками Джоном Литтлвудом и Шелдоном Россом, ставит под сомнение наши интуитивные представления о бесконечных процессах и их завершении.
Суть парадокса
Эксперимент начинается с пустой вазы и бесконечного запаса пронумерованных шаров. В течение бесконечного числа шагов мы выполняем следующие действия:
На каждом шаге добавляем 10 новых шаров в вазу.
Затем удаляем из вазы 1 шар.
Время выполнения каждого шага сжимается: первый шаг происходит за 30 секунд до полудня, второй — за 15 секунд, третий — за 7.5 секунд, и так далее. Таким образом, вся бесконечная последовательность шаров умещается в интервале от 11:59 до 12:00.
Основные интерпретации и решения
Ваза пуста
Если шары нумеруются в порядке добавления, а на шаге n удаляется шар с номером n, то каждый конкретный шар рано или поздно будет изъят. Например, шар 1 удаляется на шаге 1, шар 2 — на шаге 2, и т.д. Таким образом, к полудню ни одного шара в вазе не остаётся.
Ваза содержит бесконечно много шаров
На каждом шаге чистое добавление шаров составляет +9 (10 добавили, 1 убрали). После бесконечного числа шаров разумно предположить, что ваза должна содержать бесконечно много шаров. Это кажется интуитивно очевидным, поскольку на каждом шаге количество шаров только увеличивается.
Зависит от условий
Количество шаров в вазе может зависеть от порядка удаления. Если мы всегда удаляем шар с наибольшим номером, то в вазе может остаться любое наперёд заданное число шаров — например, 5, 100 или даже бесконечно много. Это решение показывает, что результат зависит от правил удаления шаров.
Проблема не определена или ill-posed
Некоторые философы и математики утверждают, что проблема сформулирована некорректно. Завершить бесконечное число шагов к полудню невозможно — это напоминает парадоксы Зенона. Кроме того, в условии ничего не сказано о том, что происходит с вазой в полдень, поэтому вопрос остаётся неразрешимым.
Вероятностный вариант
Шелдон Росс также предложил вероятностную версию парадокса, где на каждом шаге удаляется случайный шар из находящихся в вазе. В этом случае вероятность того, что любой конкретный шар останется в вазе к полудню, равна нулю. Таким образом, ваза почти наверняка будет пуста.