3889

Математические факты, в которые сложно поверить. Часть 1.

Математические факты, в которые сложно поверить. Часть 1. Математика, Парадокс, Интуиция, Интересное, Длиннопост

1. Про дни рождения

Если у нас в классе 23 человека то существует 50% шанс того, что среди них как минимум двое родились в один день. Если же вы соберёте 70 человек, то вероятность этого будет равна 99.9%.

Как же так? В году 365 дней и каждый из одноклассников мог родиться в любой из них. Но стоит понять, что мы тут не сравниваем одного ученика со всеми, для поиска пары мы сравниваем всех со всеми, т.е. число испытаний у нас значительно больше 23-х. Подробно этот "парадокс" разбирается в википедии: https://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_дней_рождения

Математические факты, в которые сложно поверить. Часть 1. Математика, Парадокс, Интуиция, Интересное, Длиннопост

2. Колода карт

Вы когда-нибудь задумывались, как много комбинаций получается при перемешивании колоды карт? А что если я скажу, что если вы сейчас тщательно перемешаете карты, то создадите комбинацию, которая за всю историю человечества никому и никогда не выпадала? Те, кто в школе/универе не пропускал комбинаторику, знают что число этих комбинаций равно 52! (если речь про колоду с 52-я картами). Но насколько велико это число? Как с расстояниями в космосе наш мозг не способен осознать такие величины. В комментариях приводилось несколько попыток описать эти масштабы, но мне больше всего понравилось следующее:

«Если бы у каждой звезды в нашей галактике было бы триллион планет с триллионом людей на каждой из них. И у каждого человека было бы триллион колод карт, каждую из которых он бы как-то умудрился перемешивать со скоростью 1000 раз в секунду. И вся эта движуха началась бы с момента большого взрыва, то только к настоящему моменту стали бы появляться комбинации, которые уже встречались».

Из той же серии байка про зерна и шахматную доску и предложение сложить несколько раз лист бумаги (при 103 сгибе его толщина превысит внезапно размеры вселенной)

Математические факты, в которые сложно поверить. Часть 1. Математика, Парадокс, Интуиция, Интересное, Длиннопост

3. Тождество Эйлера

А теперь давайте поймём почему математики всего мира бьются в конвульсиях и оргазмируют при виде этого тождества. Все очень просто - здесь собраны ключевые математические константы и математические операции. При этом, что больше всего поражает - показана связь между мнимой единицей (квадратный корень из -1) и вещественным числами. По-большому счету условность, принятая математиками, оказалась вполне осязаемой величиной.

Математические факты, в которые сложно поверить. Часть 1. Математика, Парадокс, Интуиция, Интересное, Длиннопост

4. Парадокс маляра

Тут уже позабористей штука. В русскоязычной литературе парадокс называется "парадоксом маляра". Он гласит то, что фигуру с бесконечной площадью поверхности можно окрасить конечным числом краски. В англоязычной литературе это уже горн Гавриила (что и нарисовано на каритнке). Все подобные парадоксы объясняются сходящимися рядами. Когда у нас есть бесконечная последовательность, которая в сумме даёт конечно число, e.g.: 2 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 ... Или другими словами слой краски будет с каждым разом всё тоньше и тоньше, вот и вся загадка.

Математические факты, в которые сложно поверить. Часть 1. Математика, Парадокс, Интуиция, Интересное, Длиннопост

5. Захомутать Землю

Если обернуть верёвкой Землю по экватору - сколько потребуется добавить верёвки, что бы поднять верёвку на один метр над поверхностью всей Земли? 10 000 км? 1 км? Ответ: 6.3 метра. В виду того, что Земля такая большая интуиция нас обманывает. Нам кажется, что увеличение радиуса сильно зависит от длины окружности, но это не так. Стоит описать задачу через формулы - всё становится очевидным, в википедии даже отдельная статья есть с доказательством: https://en.wikipedia.org/wiki/String_girdling_Earth.

Наверняка найдутся люди, которым все эти факты покажутся очевидными. Рад за вас, значит вы обладаете хорошей математической интуицией. :) На этом закончим первую часть. Если зайдёт, продолжим дальше с менее баянистыми фактами.

Найдены дубликаты

+120

Я конечн могу пойти погуглить, но всё же спрошу тут:

Что именно в четвертом имеется ввиду? Что мы любую фигуру можем покрасить бесконечно тонким слоем? Или "бесконечная площадь" фигуры из условия в конечном счете оказывается конечной?

В общем не уловил я тут сути самого вопроса :) остальное хорошо описано, спасибо :)

раскрыть ветку 92
+345

это как в анекдоте про бар, куда заходит бесконечное количество математиков. первый заказывает 1 кружки пива, второй 1/2, третий 1/4, четвертый 1/8 и т.д. бармен не выдержал, налил 2 кружки и говорит: разбирайтесь сами, заебали уже

раскрыть ветку 14
+289
Налил две кружки и сказал: "всему есть предел!"
раскрыть ветку 5
+2
Меньше одной молекулы не заказать
раскрыть ветку 5
-4
С Алисой недавно общался?
-10

сначала я хотел сказать: ну, почему математику в таком виде не преподают в школе, а через минуты решил, что мне уже надоело читать, хоть и интересно )

ещё комментарий
+31

Видимо действительно стоило всё доказательство привести. Вот фигура, которая изображена на рисунке, имеет бесконечную длину, но её объём конечен (самая не очевидная часть, доказываемая в частности через сходящиеся ряды). Соответственно мы можем залить в этот горн конечное число краски. Тем самым окрасив изнутри всю фигуру. Снаружи окрасить фигуру можно использовав горн большего размера и те же рассуждения про длину и объём.

Само доказательство для пластин на русском приведено в википедии: https://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_маляра

раскрыть ветку 43
+42

Соответственно мы можем залить в этот горн конечное число краски.

Эта фраза хорошо прояснила все вопросы, благодарю :)

ещё комментарии
+63

Фу ты блин, я думал, этот горн к экспоненте относится. Вот честно, давать картинку к разделу до названия самого раздела - это просто плевок в лицо читателям.

раскрыть ветку 1
+10
Вы не доказали, что у фигуры бесконечная площадь.
+14

"предложенное математическое решение не учитывает тот физический факт, что слой краски не может иметь толщину меньше размера одной молекулы краски"
парадоксы не всегда такие уж парадоксы

раскрыть ветку 5
+5
> Тем самым окрасив изнутри всю фигуру. Снаружи окрасить фигуру можно использовав горн большего размера и те же рассуждения про длину и объём.

Вы не поняли до конца шизовость ситуации. Его можно заполнить конечным количеством краски. Но при этом невозножно окрасить поверхность даже изнутри, т.к. площадь внутри и снаружи одинаковая - бесконечная.

раскрыть ветку 1
+2

Так.

Вот тут я конкретно не понял.

Есть такой торт: Gabriel's cake.

Суть: если каждый раз отрезать половину торта и класть ее на пред. кусок, то у нас будет бесконечно высокая башня с бесконечной большой площадью поверхности, но конечным объемом.

И, обычно, во всех примерах(тот же VSause) говорится, что покрасить такой торт нереально.

Так почему же в твоем случае это оказывается реальным?

Нипанятна.

UPD: Этот торт и есть Парадокс маляра. Надо еще разок завтра будет статьи перечитать.

раскрыть ветку 7
+1
Чем он принципиально отличаетмя от парадокса Зенона?
раскрыть ветку 1
0
Размер молекулы краски берется за бесконечно близкий к нулю? Ведь рано или поздно нормальная молекула застряла бы в этом горне, оставив его тонкую часть неокрашенной.
0
Так и надо писать, что это только для горна
0
Поясни за ту непонятную формулу, для гуманитарных пацанов
0
Никогда не мог понять в чём смысл подобных теорем, я могу понять термодинамику, механику или прикладную физику , но это совершенно лишено смысла.
0
Еще есть Губка Менгера. У нее конечный линейный размер, конечный объем, и бесконечная площадь.
раскрыть ветку 1
0
В последнем - ошибка. В оригинали 6.3 inch, что равно 16см, но не как 6.3 метра...
раскрыть ветку 4
-2
Вот тут ошибка. Слой краски не может быть меньше, чем размер атома
-4

Извините пожалуйста, нам срочно нужна ваша помощь!

Станьте пожалуйста министром образования РФ!

+41
Что мы любую фигуру можем покрасить бесконечно тонким слоем?

Да, в том числе и бесконечную фигуру.

Только вот вся проблема в том, что слой не может быть бесконечно тонким, так как нужна ширина хотя бы один атом. Поэтому этот „парадокс“ фуфло, как и большинство „парадоксов“.

раскрыть ветку 27
+29

это не "парадокс фуфло", это вы - зануда
все подобные парадоксы являются лишь математической абстракцией, и рассматривают абстрактные объекты, для которых нет понятия планковской длинны.

раскрыть ветку 24
+1
слой не может быть бесконечно тонким, так как нужна ширина хотя бы один атом

Т.е. существование фигуры которая сужается "бесконечно тонко" Вас нисколько не смущает?

раскрыть ветку 1
+1
Про зубную пасту походу.
+1

да это пиздёж. когда толщина краски будет один атом (молекула), то её потребуется бесконечность.

0
Про 4 парадокс в vsauce рассказывали, называется "сверхзадачи" вроде, очень интересная хрень
раскрыть ветку 1
+3
Он и про карты рассказывал , вроде "магия математики". Имхо,там он приводил куда более интересное сравнение , нежели триллион звёзд, планет, людей. В комментах уже кидали ссылку на видео, но если лень смотреть, то там было примерно следующее: Скотт Чепиел придумал визуализацию 52!. Предлагается взять 52! секунд (8.0658×10^67), встать на экваторе,подождать миллиард лет и сделать шаг, потом повторить. Как только ты проходишь по экватору вокруг земли, берешь каплю воды из тихого океана .05мл и откладываешь ее, потом снова со скоростью в 1 шаг каждые миллиард лет проходишь и берешь каплю, как только тихий океан заканчивается , кладешь на землю лист бумаги , снова наполняешь тихий океан и повторяешь все ранее проделанные действия пока стопка бумаги не вырастет до Солнца. Тогда на таймере останется ~8.0632×10^67. А если проделать все действия 1000 раз, то пройдет только треть всего времени. Или можно каждый миллиард лет сдавать себе по 5 карт, как только выпадает флеш роял покупаешь лотерею и продолжаешь сдавать карты, если лотерея попадается выигрышная, бросаешь в гранд каньон песчинку , как только полостью заполняешь его песком , берешь унцию с горы Эверест, сровняв Эверест с землёй , повторяешь алгоритм 256 раз и тогда на таймере останется 0.
0

это как задача с мухой летающей со скоростью X между двумя поездами едущими к друг другу со скоростью Y с расстояния N.

сколько раз муха туда сюда полетает до того момента когда поезда встретятся?

у кого то ответ будет конечное число, а у кого то бесконечное

парадокс вобщем

+319
Текст-картинка-текст-картинка...
А тут даже подзаголовок под картинкой
раскрыть ветку 12
+208
Блядь. Я только после твоего комментария понял, что это не радномные картинки из сети, а "типо подобраные" под каждый пункт статьи.

@moracan, ты же вроде умный, математик - а как как даун сделал пост с "картинка->текст"

Зачем?

раскрыть ветку 8
+28

Так этом.. Может он и не математик вовсе?

+5

Вот жиза, задолбали задалбывать.

+4

Что значит как даун? Все люди воспринимают информацию по-разному, лично у меня никаких трудностей прочтение поста не вызвало - видишь картинку - читаешь описание. Ноу проблем.

раскрыть ветку 2
+1
Так по ГОСТу, наверное
-3
А в чем, собственно, проблема? Неужели сразу не было понятно, что тут картинки не просто так?
-6
Так намного удобнее - увидел, запомнил, читаешь и сразу накладываешь информацию на образ. А не как обычно, тужишься представляешь, вот вроде рыба моей мечты, и тут хуязь! А на картинке вообще другое!
ещё комментарий
+6

В данном варианте изложения мыслей приемлемо когда идет подзаголовок-картинка-текст

раскрыть ветку 2
+26

Да нехуя не приемлимо. Я смотрю на тождество Эйлера, а там фигура какая-то, а оказывается это формула выше, которая я думал к истории про колоду карт. Заебись, хоть заново все читай

0

Было бы приемлемо, но здесь не так...

+18

[Режим зануды: ON]


Два лишних сантиметра прибавили в 5 факте! 2*3,14*1=6,28 (м)


[Режим зануды: OFF]

раскрыть ветку 3
+6
Блин, а в англоязычной вики написано что-то про 16 см... А 6,3 я так понял про дюймы.
раскрыть ветку 1
+11

1 м веревки увеличивает радиус на 16 см и того 6.28 метров увеличивают его на 1 м

+1

2 * 1 * 3.14159265359 = 6.28318530718

Куда ещё три с кусочком милиметра дели?

+64
Если у нас в классе 23 человека то существует 50% шанс того, что среди них как минимум двое родились в один день. Если же вы соберёте 70 человек, то вероятность этого будет равна 99.9%.

Вероятность 99.9%, но по факту будет 0 ;)

раскрыть ветку 84
+9

У нас в бригаде 9 человек, на день рождения принято приносить торт к чаю. Приношу я на свой ДР тортик, а к холодильнике уже стоит один - оказывается у коллеги день рождения в тот же день)

Пару месяцев назад у одного из коллег жена родила сына, у другого буквально через 40 минут в том же роддоме родилась дочка. Поздравляли, как водится, в один день и в тот же день отъедались парой тортов)

Вот вам и вероятность.

раскрыть ветку 4
0

Вы эти торты успешно съедаете или они у вас потом стоят еще целую неделю?

раскрыть ветку 3
+5

У меня были:

2 пары людей, родившиеся в один день

1 парень, родившийся 8 марта

1 девушка, родившаяся 23 февраля

1 парень, родившийся 1 апреля

1 парень, родившийся 31 декабря


И всё это в одном классе.

раскрыть ветку 3
0

Ты говоришь по уникальные ситуации, с которыми ты сталкивался. Парадокс же в другом - 4 из 5 групп по 33 человека и каждая вторая из 23 имеют двух людей, у которых день рожденья в один день.

раскрыть ветку 1
0

Мы наверно в одном классе учились, правда вторую пару я не знаю, но вот у меня был ДР в один день с девчёнкой с которой я за одной партой сидел.

+15

У вас в классе не было людей, родившихся в один день?

раскрыть ветку 45
+101

Ни в классе, ни в универе, ни в компании, в которой я работал одно время, где было около 100 сотрудников...

раскрыть ветку 34
+2
С другом, с которым познакомился переехав в Германию, оказался в один день др, но это ещё ничего, наши мамы рожали нас в единственном роддоме в городе, в Казахстане в один день.
П.с. Знаю что звучит оч котолампово
+2
А у меня были. Я был один из них)
+4
Я ниже написал. Что учился в разных классах и группах. Совпадений не было. В садике у детей также
раскрыть ветку 4
0

Мне 36 лет и за всю жизнь я встретила только двоих людей, с которыми у меня в 1 день дни рождения.

0
В начальной школе были, 2 сестры близняшки. И в технаре тоже были, 2 брата близнеца) А так не было, насколько я помню.
раскрыть ветку 1
+1

У меня в группе всего 2 девочки (технический вуз) и у них день рождения в один день. Вот это действительно комбо

раскрыть ветку 2
+1
8-го марта?
раскрыть ветку 1
0
В России, в 90е, вероятность родиться в один день с одноклассником была крайне высока, потому что чаще всего дети появлялись случайно и обычно дата родов была примерно через 9 месяцев после какого-нибудь праздника. Что-то мне подсказывает, что это мало изменилось.
0
У меня два друга, которые были со мной в одном классе, родились в одном роддоме с разницей 15 минут)
0
Я один из тех, у кого в классе др был в один день с другим человеком. А в 10 к нам пришел еще один человек с др в этот же день. До 10 класса нас было 23 человека 0_о Как говорил мой учитель алгебры когда-то что и требовалось доказать
раскрыть ветку 4
-3
Это в геометрии пишут
раскрыть ветку 3
0

У меня в универе в группе было 18 человек у троих ДР в один день)

0
Хм... У меня в классе было три пары человек, у которых совпадали др. Сама была частью такой пары - родилась с одноклассницей в один день)
раскрыть ветку 1
0
У меня в школе (27 человек) были 3 девочки, у которых день рождения 3 мая, причём ещё и все три ходили в художку :D и два мальчика с днем рождения 19 февраля. А в колледже из 7 девочек были две Саши и две Ляйсан :D
-10

знаю человек 70, ни один не родился в мой день

раскрыть ветку 6
+11

Ты даже не пытался понять суть парадокса?

ещё комментарии
-25
На работе 150 рыл, и ни у одного нету д.р. как у меня 01.05
раскрыть ветку 8
+30

Тут вопрос в том, а были ли у вас вообще совпадения среди сотрудников?

раскрыть ветку 1
+12
Вы тут при чем? Речь о том, что у кого-то из всего коллектива будет совпадение, а не у вас лично
раскрыть ветку 5
ещё комментарии
+5
Про 52 карты и факториал 52 уже был интересный пост https://pikabu.ru/story/vsauce_magiya_matematiki_3978795 с доходчивой визуализацией.
раскрыть ветку 1
0
Бля чуть мозг не ебанул от такой визуализации.
+9
Из той же серии байка про зерна и шахматную доску и предложение сложить несколько раз лист бумаги (при 103 сгибе его толщина превысит внезапно размеры вселенной)

Не совсем из той же. Факториал растет быстрее экспоненты.

раскрыть ветку 4
+1

sqrt(n) = e ^ (ln(n) / 2)

В каком-то смысле всё экспонента.

0
Есть же формула стирлинга
раскрыть ветку 2
+5

Ты это просто так сказал?

раскрыть ветку 1
+12

Даже странно что не упомянут факт что шар можно разрезать на 5 частей, перенести каждую часть параллельным переносом и в результате получатся 2 шара такого же радиуса

раскрыть ветку 14
+11

Да-да и ещё десяток не менее впечатляющих вещей. Поэтому и написал, что "часть 1.". Пробный блин, хотел понять, будет ли это кому-нибудь интересно. Ну и так много математики даже в такой попсовой форме тяжело воспринимать.

раскрыть ветку 8
+8
1+2+3... = -1/12
раскрыть ветку 6
-1

Интересно будет, продолжайте!

+5
А можно наглядно?
раскрыть ветку 3
+7

Нет.

Там используют части с хитрым подвыподвертом, что их объём невозможно измерить.

Этот парадокс всё ещё неприменим к реальному миру, потому что реальные объекты невозможно так разделить.

+3

Поищите в youtube лекции Савватеева "Математика для гуманитариев". Они на 90% из таких вещей состоят. И при этом очень просто объясняются. К тому же сам лектор заражает своим энтузиазмом.

0

Если английский знаете, то вот отличное объяснение:

https://www.youtube.com/watch?v=s86-Z-CbaHA

+1
Неужели парадокс Банаха-Тарского?
+6
раскрыть ветку 1
+2
Дихотомия Зенона в тему.
+6

С Днем Рождения!

+3
Чтобы тождество Эйлера была очевидно нужно курс ТФКП прослушать что ли. Или матана, где это там было, не помню)
раскрыть ветку 8
+1

Можно даже не весь слушать, формула получается на первой или второй лекции автоматически, когда речь заходит о представлении комплексного в показательной форме, просто подставновкой -1

раскрыть ветку 1
0
Ну да, не весь. Тем не менее это уже специализированная штука, вот я о чем
0

Нужно знать, что i^2=-1 и разложение в ряд Маклорена экспоненты, синуса и косинуса.

раскрыть ветку 2
0
Я к тому сказал, что эта вещь не повседневная и нет-нет да подразумевает наличие чуть более глубокое знание священного матана. Короче, остальные вещи можно объяснить неискушенному знатоку, а с Эйлером уже нетривиально, надо покопошиться
раскрыть ветку 1
0

ТФКП. Действительный анализ (он же матан в обиходе) не оперирует числом i.

раскрыть ветку 2
0
ТФКП - раздел математического анализа
раскрыть ветку 1
+25
Я не понял и половины. Но с окраской я не согласен.
раскрыть ветку 37
+144

Не понял, но не согласен. Отличный выбор.

раскрыть ветку 4
+36

я ничего не понял, и уверен что всё это ложь и ересь! на костёр всех грамотных!

раскрыть ветку 3
+27

речь идёт не о реальной "БЕСКОНЕЧНОЙ ФИГУРЕ", которую мы красим "БЕСКОНЕЧНО ТОНКИМ СЛОЕМ КРАСКИ", а о математических абстракциях.
Возьмём торт, разрежем пополам, поставим куски друг на друга, верхний кусок поделим пополам ещё раз и поставим новый кусок сверху (эдакая пирамидка), повторим бесконечное количество раз. В итоге у нас получится бесконечно высокий торт, с бесконечной площадью, из конечного кол-ва материала.
Понятно что в реальной жизни мы бы не смогли провернуть этот фокус, ведь существует понятие планковской длинны, да и отдельные атомы врятли можно назвать "тортом" (да и бесконечных фигур, коли уж на то пошло, нету), так что задача рассматривает математические абстракции.

раскрыть ветку 5
+3
Дружище, это самый понятный комментарий! Всё встало на свои места )
0

таким математическим тортом можно накормить всех голодных в мире

раскрыть ветку 3
+40

А в виде анекдота понятней?

Бесконечное число математиков заходит в

бар. Первый заказывает одно пиво. второй - половину кружки, третий - четверть, четвёртый - одну восьмую...


Бармен не выдерживает:

- Знаю я вас, пидоров, вот вам две кружки на всех!

раскрыть ветку 8
+27
Можно ещё вот так, чуть посложнее:
Бесконечное число математиков заходит в
бар. Первый заказывает одно пиво. второй - две, третий - три, четвёртый - четыре...

Бармен не выдерживает:
- Не, давайте-ка лучше вы мне одну двенадцатую?
раскрыть ветку 2
-1

Так у нас же бесконечность - то есть по сути конца нет, и красить нам придется тоже бесконечно, а это значит, что краска, как не крась, будет уходить, просто количество потраченного будет уменьшаться. Так что про конечность краски - бред.

раскрыть ветку 4
+20

короче в конце краска будет гомеопатической, и конечную величину знать мы сможем только примерно...бредовый парадокс.

+3

когда краска кончится, начнется гомеопатия

+2

ты можешь быть не согласен с тем, что 2+2=4, но это не отменяет того, что это доказано )

ещё комментарии