Геометрический фикс-поинт для обратной постоянной тонкой структуры⁠⁠

Дискретный фикс-поинт, дающий число 137.035999…

Статья не претендует на замену квантовой электродинамики и не использует экспериментальное значение постоянной тонкой структуры как входной параметр. Цель уже: показать дискретную фикс-поинт-конструкцию, её внутреннюю арифметику и воспроизводимое численное значение.

Физическая интерпретация результата рассматривается как гипотеза и является частью более широкой монографии о дискретной геометрии внутреннего времени и физических константах.

1. Идея

Нужно получить безразмерную скалярную величину, сопоставляемую с обратной постоянной тонкой структуры.

Итоговое число:

α^(-1)_geom = 137.03599918190735385040222634734381805672479458095387626886644837…

Конструкция строится не от экспериментального значения α, а из внутреннего шестизвенного цикла:

C_6 = Z/6Z.

Цикл разбивается на две ориентированные полуветви:

6 = 3 + 3.

Одна полуветвь считается наблюдаемой, вторая — обратной. После проекции остаются активные уровни:

𝓛 = {0,1,3,5}.

Соответствующая башня степеней тройки:

3^5, 3^3, 3^1, 3^0.

Именно эти четыре уровня дальше дают всю арифметику конструкции.

2. Активные уровни

Внутренний цикл имеет уровни:

0, 1, 2, 3, 4, 5.

Уровень 0 — центральный якорь.

Нечётные уровни 1, 3, 5 сохраняют ориентированный вклад выбранной полуветви.

Чётные уровни 2 и 4 компенсируются обратной полуветвью.

Поэтому наблюдаемая проекция:

𝓛 = {0,1,3,5}.

Это можно записать через проектор:

P_obs(0) = 1,

P_obs(k) = 1 при k ∈ {1,3,5},

P_obs(k) = 0 при k ∈ {2,4}.

Эквивалентно:

P_obs(k) = δ_k0 + (1 - (-1)^k)/2.

3. Якорная и оболочечная пары

Активное множество естественно делится на две пары:

𝓛_in = {0,1},

𝓛_out = {3,5}.

Первая пара — якорная:

Δ = 3^1 + 3^0 = 3 + 1 = 4.

Вторая пара — внешняя оболочечная:

Σ = 3^5 + 3^3 = 243 + 27 = 270.

Итого:

Δ = 4,

Σ = 270.

Старший активный уровень задаёт нормировку:

D = 3^5 = 243.

4. Два нормированных масштаба

Внутренний нормированный масштаб:

u = Σ/D = 270/243 = 10/9.

Пусть h > 0 — полный суммарный хвост. Тогда расширенный наблюдаемый масштаб:

v(h) = (Σ + Δ + h)/D.

Так как Σ + Δ = 270 + 4 = 274, получаем:

v(h) = (274 + h)/243.

5. RMS-склейка

Нужно склеить два нормированных масштаба u и v(h).

Требования к склейке:

R(u,v) = R(v,u),

R(u,u) = u,

R(u,v) > 0,

и квадратичность, потому что два вклада трактуются как ортогональные компоненты одной эффективной метрической пары.

Берём общую квадратичную форму:

R(u,v)^2 = a u^2 + b v^2 + 2cuv.

Ортогональность даёт c = 0.

Симметрия даёт a = b.

Нормировка R(u,u) = u даёт a + b = 1.

Следовательно:

a = b = 1/2.

Поэтому:

R(u,v) = sqrt((u^2 + v^2)/2).

Наблюдаемая полуветвь содержит три элементарных направления, поэтому один наблюдаемый шаг получает треть полной полуветвевой амплитуды:

M(h) = (1/3) R(h).

После подстановки:

M(h) = (1/3) sqrt((((10/9)^2) + (((274+h)/243)^2))/2).

6. Наблюдаемый шаг и полный уровень

Наблюдаемый шаг:

S(h) = Δ + M(h) + h.

Так как Δ = 4:

S(h) = 4 + M(h) + h.

Полный уровень получается добавлением оболочки Σ:

T(h) = Σ + S(h).

Так как Σ = 270:

T(h) = 270 + S(h).

Или явно:

T(h) = 274 + M(h) + h.

Отношение подобия:

r(h) = T(h)/S(h).

7. Однопетлевое замыкание

Если хвост считать одиночным, то три уровня h, S, T должны образовывать самоподобную тройку:

S/h = T/S.

Отсюда:

S^2 = hT.

То есть:

hT = S^2.

Это простое однопетлевое замыкание.

Но в данной конструкции хвост не одиночный. Он матрёшечный: после первого возврата появляется следующий внутренний хвост, затем следующий и так далее.

Поэтому:

h = h_1 + h_2 + h_3 + …

8. Коэффициент подавления хвоста

Каждому уровню k сопоставляется ёмкость:

C_k = 3^k.

Прямое прохождение уровня учитывает ёмкость 3^k.

Обратное прохождение через уже сформированную оболочку задаётся обратным множителем:

C_k^(-1) = 3^(-k).

Внешняя возвратная оболочка состоит из уровней 3 и 5. Поэтому следующий вложенный хвост проходит через две оболочки:

3^3 и 3^5.

Коэффициент подавления:

λ = 3^(-3) · 3^(-5) = 3^(-8).

То есть:

λ = 1/6561.

Численно:

λ = 0.0001524157902758725803993293705227861606462429507696997408931565…

9. Суммирование матрёшечного хвоста

Первый слой хвоста:

h_1 = S/r.

Второй слой получает дополнительное подавление λ:

h_2 = λ S/r^2.

Третий:

h_3 = λ^2 S/r^3.

В общем виде:

h_k = λ^(k-1) S/r^k.

Полный хвост:

h = Σ_{k=1}^{∞} λ^(k-1) S/r^k.

Выносим первый множитель:

h = (S/r)(1 + λ/r + λ^2/r^2 + λ^3/r^3 + …).

Это геометрический ряд:

1 + λ/r + λ^2/r^2 + … = 1/(1 - λ/r).

Следовательно:

h = (S/r) · 1/(1 - λ/r).

Значит:

h = S/(r - λ).

Но r = T/S, поэтому:

h = S/(T/S - λ) = S^2/(T - λS).

Итоговое фикс-поинт-уравнение:

h(T(h) - λS(h)) = S(h)^2.

С учётом λ = 3^(-8):

h(T(h) - 3^(-8)S(h)) = S(h)^2.

10. Полное уравнение

Подставляем:

S(h) = 4 + M(h) + h,

T(h) = 274 + M(h) + h,

λ = 1/6561.

Получаем одно уравнение относительно h:

h[274 + M(h) + h - (1/6561)(4 + M(h) + h)] = (4 + M(h) + h)^2.

Где:

M(h) = (1/3) sqrt((((10/9)^2) + (((274+h)/243)^2))/2).

Искомая ветвь:

h ∈ (0,1).

11. Почему малый корень единственный

Вводим:

A(h) = 4 + M(h).

Тогда:

S(h) = A(h) + h,

T(h) = 270 + A(h) + h.

Фикс-поинт можно записать через невязку:

f_λ(h) = 270h - λh^2 - (1+λ)hA(h) - A(h)^2.

Искомый корень:

f_λ(h) = 0.

На малой ветви h ∈ (0,1):

M(h) < 1,

A(h) < 5,

λ < 10^(-3).

При h → 0:

f_λ(h) → -A(0)^2 < 0.

При h = 1:

f_λ(1) > 270 - 0.001 - 1.001·5 - 25 > 0.

Значит корень существует.

Далее производная:

f_λ'(h) = 270 - 2λh - (1+λ)(A(h)+hA'(h)) - 2A(h)A'(h).

Так как A'(h)=M'(h), а M'(h)<10^(-3), получаем на всём интервале:

f_λ'(h) > 264.981999 > 0.

Значит f_λ строго возрастает на (0,1).

Следовательно:

существует единственный малый корень h_* ∈ (0,1).

12. Численное значение

Решение уравнения даёт:

h_* = 0.071998363814707700804452694687636113449589161907752537732896739…

Для этого корня:

M(h_*) = 0.373173687366430745915016431075887426301094812094710950786201079…

S(h_*) = 4.445172051181138446719469125763523539750683974002463488519097818…

T(h_*) = 274.4451720511811384467194691257635235397506839740024634885190978…

Отношение подобия:

r_* = T(h_)/S(h_).

Численно:

r_* = 61.74005615334002300797122856364800157099511406355053138700219841…

Проверка матрёшечного представления:

S(h_)/(r_ - 3^(-8)) = h_*.

Численно:

S(h_)/(r_ - 3^(-8))

0.071998363814707700804452694687636113449589161907752537732896739…

13. Проверка фикс-поинта

Левая часть:

L = h_* (T(h_) - 3^(-8)S(h_)).

Численно:

L = 19.75955456460192972247068472768277970364985807661536770530755010…

Правая часть:

R = S(h_*)^2.

Численно:

R = 19.75955456460192972247068472768277970364985807661536770530755010…

То есть:

h_* (T(h_) - 3^(-8)S(h_)) = S(h_*)^2.

14. Выходная константа

Полная наблюдаемая сумма:

Σ + Δ + h_*.

Она содержит две сопряжённые стороны проекции: внутреннюю оболочечную и наблюдаемую якорную. Поэтому вводится двусторонняя нормировка:

K = (Σ + Δ + h_*)/2.

Выходная величина:

α^(-1)_geom = K.

Так как:

Σ + Δ = 270 + 4 = 274,

получаем:

α^(-1)geom = (274 + h*)/2.

Подставляем h_*:

α^(-1)_geom

(274 + 0.071998363814707700804452694687636113449589161907752537732896739…)/2.

Итог:

α^(-1)_geom = 137.03599918190735385040222634734381805672479458095387626886644837…

15. Откуда берутся числа

Вся конструкция сводится к цепочке:

C_6 и 6 = 3 + 3 задают ориентированную наблюдаемую полуветвь.

Проекция оставляет уровни:

{0,1,3,5}.

Якорная пара:

{0,1}

даёт:

Δ = 3^1 + 3^0 = 4.

Внешняя оболочечная пара:

{3,5}

даёт:

Σ = 3^5 + 3^3 = 270.

Старший активный уровень задаёт нормировку:

D = 3^5 = 243.

Две ортогональные склеиваемые величины дают RMS-метрику:

R = sqrt((u^2+v^2)/2).

Одна наблюдаемая ветвь из трёх направлений даёт:

M = R/3.

Возврат вложенного хвоста через оболочки 3 и 5 даёт:

λ = 3^(-3)3^(-5) = 3^(-8).

Бесконечная сумма вложенных хвостов даёт фикс-поинт:

h(T - 3^(-8)S) = S^2.

Единственный малый корень даёт число:

137.03599918190735385040222634734381805672479458095387626886644837…

16. Минимальная проверка на Python

Код не использует экспериментальное значение постоянной тонкой структуры. Он только решает фикс-поинт-уравнение и затем вычисляет выходную величину.

import mpmath as mp mp.mp.dps = 80 Delta = mp.mpf(4) Sigma = mp.mpf(270) D = mp.mpf(243) lam = mp.mpf(1) / mp.mpf(6561) u = Sigma / D def M(h): v = (Sigma + Delta + h) / D return mp.mpf(1) / 3 * mp.sqrt((u**2 + v**2) / 2) def S(h): return Delta + M(h) + h def T(h): return Sigma + S(h) def F(h): return h * (T(h) - lam * S(h)) - S(h)**2 h_star = mp.findroot(F, (mp.mpf("0.05"), mp.mpf("0.1"))) M_star = M(h_star) S_star = S(h_star) T_star = T(h_star) r_star = T_star / S_star alpha_inv_geom = (Sigma + Delta + h_star) / 2 print("h_star =", h_star) print("M(h_star) =", M_star) print("S(h_star) =", S_star) print("T(h_star) =", T_star) print("r_star =", r_star) print("alpha_inv_geom =", alpha_inv_geom) print("residual =", F(h_star)) print("S/(r-lambda) =", S_star / (r_star - lam))

Ожидаемый результат:

h_star =
0.071998363814707700804452694687636113449589161907752537732896738998…

alpha_inv_geom =
137.035999181907353850402226347343818056724794580953876268866448369499…

residual ≈ 0.

17. Вывод

В этой конструкции все числа задаются внутренней геометрией шестизвенного цикла:

3^5, 3^3, 3^1, 3^0

возникают из проекции:

C_6 → {0,1,3,5}.

Разбиение на:

Δ = 3^1 + 3^0

и

Σ = 3^5 + 3^3

следует из разделения на якорную пару и внешнюю оболочечную пару.

Коэффициент:

3^(-8)

равен произведению обратных ёмкостей двух внешних оболочек:

3^(-8) = 3^(-5)3^(-3).

Матрёшечное уравнение:

h(T - 3^(-8)S) = S^2

задаёт единственный малый фикс-поинт.

После двусторонней нормировки:

α^(-1)geom = (Σ + Δ + h*)/2

получается:

α^(-1)_geom = 137.03599918190735385040222634734381805672479458095387626886644837…

То есть вся конструкция сводится к одному малому корню одного скалярного уравнения.