Равновесие по Нэшу⁠⁠

Всем привет! Я продолжаю свою серию постов по популяризации науки :) Пока я выкладываю материалы по теории игр.

Прошлые посты тут:

Игра с природой, или что такое математическое ожидание? : Часть 1, Часть 2

Дилемма заключённого : Часть 1, Часть 2, Часть 3,

Частные и общественные блага: Часть 1, Часть 2

Немного классификации и терминов

Мы с вами уже построили платёжные матрицы в двух играх, проведём немного классификации.

В 1944 году за авторством Оскара Моргенштерна и Джона фон Неймана была опубликована книга «Теория игр и экономическое поведение» («Game Theory and Economic Behavior»), в которой:

- Было сформулировано определение «игры», как деятельности двух и более участников (игроков) имеющей условия некоего «выигрыша» и «проигрыша», в рамках которой все участники могут распоряжаться какими-то ресурсами и взаимодействуют между собой, преследуя цель «выиграть» и принимая решения, основанные на поведении других игроков;

- Был математически описан способ поиска оптимальных стратегий в такой игре (ведущих к «выигрышу» с какой-то определенной вероятностью).

Джон фон Нейман (1903—1957) – американский математик и физик венгерского происхождения. Он внес важный вклад во многие области. Тема упомянутой выше книги скорее связана с экономикой. На самом деле до 1930-х годов экономическая наука (по крайней мере, ее основные направления того времени) использовала большое количество числовых данных, но без какой-либо настоящей научной строгости. Это напоминало физику 17-го века, ожидающую языка и научного метода для выражения и решения своих проблем. В то время как классическая физика нашла решение в исчислении бесконечно малых, фон Нейман предлагает для экономики в характерном для нее аксиоматическом подходе теорию игр и теорию общего равновесия.

Суммой игры называется общий итог выигрышей и проигрышей.

В игре с нулевой суммой выигрыш одной стороны равен проигрышу другой. Некоторые карточные игры – преферанс, покер, бридж – есть игры с нулевой суммой. Игры с отрицательной суммой тоже имеются − например, лотереи (если считать сумму участников и не учитывать организаторов).

Команда, выступающая как единое целое, тоже может считаться игроком.

Антагонистической игрой называется игра двух игроков с нулевой суммой – выигрыш одного игрока оборачивается проигрышем другого.

Первым значительным вкладом фон Неймана в 1928 году стала минимаксная теорема, которая утверждает, что в игре с нулевой суммой при полной информации (каждый игрок знает возможные стратегии своего противника и их последствия) у каждого есть набор предпочтительных («оптимальные») стратегии. В игре между двумя рациональными игроками нет ничего лучше для каждого из них, чем выбрать одну из этих оптимальных стратегий и придерживаться её.

Существуют игры с количеством участников, большим двух. Эти игры можно разделить на два класса – кооперативные, когда разрешено нескольким участникам вступать в коалицию (например, в преферансе при розыгрыше мизера обычно два игрока играют против одного в пределах одной партии). В некооперативных играх каждый участник играет только за себя.

В спортивных играх – командных (футбол, хоккей) или личных (шахматы) каждый матч или партия есть игра с нулевой суммой по результатам (ничья, или же один выигрывает, а другой проигрывает). Хотя в турнирных таблицах фигурируют общие набранные очки, в шахматах, например, считают именно «плюсы» – разницу между выигранными и проигранными партиями. В футболе, в связи с борьбой с ничьими, ничейный результат невыгоден обоим. Но если брать именно набранные очки, то турнир – игра с положительной суммой.

Равновесие по Нэшу

Джон Нэш (John Forbes Nash) (1928-2015) в теории игр был признан второй звездой после фон Неймана. Родился в 1928 г., изучал математику в Принстоне и скоро проявил интерес к теории игр. В своей диссертации (1950) двадцатидвухлетний Нэш сформулировал понятие, которому суждено было изменить теорию игр. Кстати, по мотивам его жизни был снят фильм «Игры разума», весьма советую к просмотру.

Термин «равновесие по Нэшу» настолько популярен, что сам Нэш стал бы миллионером, если бы ему платили по доллару за каждое упоминание о нём. Во всяком случае, профессором MIT он стал. А также Нэш – единственный математик и экономист, удостоенный Нобелевской премии по экономике в 1994 году и Абелевской премии по математике в 2015 году.

Вначале Нэш исследовал игру двух игроков с ненулевой суммой, затем объектом его исследований стали некооперативные игры с тремя и более участниками. Нэш вначале выдвинул понятие о равновесии в таких играх, затем доказал, что оно существует для любых конечных игр с любым числом игроков. До него фон Нейманом было доказано только равновесие в играх двух лиц с нулевой суммой.

Исследования Джона Нэша принесли ему Нобелевскую премию по экономике в 1994 году совместно с Джоном Харсаньи и Райнхардом Селтеном. Нобелевский комитет пояснил, что Харсаньи премирован за «распространение равновесия по Нэшу на класс игр с неполной информацией», а Селтен – за обогащение этого равновесия.

Мы видим, что равновесие по Нэшу привело троих учёных к Нобелевской премии (хотя это была математика, премию дали за экономику, математикам Нобелевские премии не положены). Так что же это такое, равновесие по Нэшу?

Равновесие по Нэшу – ситуация в игре, в которой ни один из игроков не может улучшить свое положение, односторонне изменив свою стратегию, если другие игроки свои стратегии не меняли.

Каждый из игроков в равновесии по Нэшу осведомлён о стратегиях других игроков и в связи с этим выбирает для себя лучшую из доступных ему стратегий. В равновесии по Нэшу действует принцип «оглашения» – если все игроки огласят свои стратегии, ни один из них не захочет изменить свою. Это приводит к выводу, что каждому из игроков невыгодно в одностороннем порядке менять свою стратегию – система находится равновесии. Для его поддержания не требуется внешних сил, каждый из игроков старается реализовать в создавшихся условиях именно свою стратегию, и равновесие нарушать невыгодно каждому из игроков. Именно здесь кроется различие между кооперативными и некооперативными играми – для устойчивости первых могут потребоваться внешние силы (например, обращение в суд), устойчивость вторых же внешних сил не требует.

К сожалению, встречаются такие ситуации, когда такое устойчивое состояние возникает в невыгодной для всех ситуации. Если бы все изменили свои стратегии, система пришла бы к более выгодному состоянию для всех, но для этого необходимо сотрудничество всех, которое невозможно в некооперативных играх, а попытка любого из игроков изменить для себя стратегию приводит к ещё более худшим результатам. Упомянутая ранее дилемма заключённого – один из случаев стабильно плохой по Нэшу ситуации для всех.